»Ich war schon sooo oft im Freibad, das glaubst du gar nicht.«

»Und ich erst, ich kann das schon gar nicht mehr zählen.«

»Ich war aber schon viel öfter da.«

»Unendlich oft war ich schon im Freibad.«

»Und ich mindestens einmal mehr!«

Solche Unterhaltungen habe ich als Kind gerne mal geführt. Nicht selten kam es vor, dass meine Freunde und ich uns gegenseitig übertreffen wollten und dabei Unendlichkeiten aus dem Hut zauberten – und diese durch Rechenoperationen wie »unendlich plus eins« oder »zweimal unendlich« oder »unendlich mal unendlich« steigerten. Was das genau bedeutet, wussten wir natürlich nicht. Im Schulunterricht spielten Unendlichkeiten nie eine Rolle.

Zu Recht, kann ich jetzt im Nachhinein sagen. Denn mit diesen Größen zu rechnen, ist alles andere als einfach. Tatsächlich ist die »Arithmetik von Kardinalzahlen«, wie sie formal heißt, ein aktives Forschungsfeld der Mathematik. Sie enthält bis heute viele offene Fragen, von denen sich einige niemals beantworten lassen werden. Doch Mathematikerinnen und Mathematiker haben inzwischen Mittel und Wege gefunden, den unermesslichen Größen doch noch ein paar Geheimnisse zu entlocken – und einige Rechenregeln aufzustellen. Dabei traten auch einige Überraschungen zum Vorschein. Zum Beispiel eine merkwürdige Vier.

Aber erst einmal der Reihe nach: Was ist überhaupt eine Unendlichkeit?

Unendlichkeiten finden ihren Weg in die Mathematik

Es hat mehrere Jahrtausende gedauert, bis das Konzept des Unermesslichen seinen Weg in die Mathematik gefunden hat. Dass es so lange brauchte, hat unter anderem mit den Fragen zu tun, die ich eingangs gestellt habe: Wie soll man konsistent mit Unendlichkeiten rechnen? Deswegen lehnten Mathematiker lange Zeit das Unermessliche ab und taten es als irreal ab. Doch das änderte sich Ende des 19. Jahrhunderts dank Georg Cantor.

Der deutsche Wissenschaftler begründete damals die Mengenlehre. Eine Menge kann man sich wie einen leeren Beutel vorstellen, in den man alles Mögliche hineinstopfen kann: Schuhe, Autos, Blumen – oder auch abstraktere Inhalte wie Zahlen, Funktionen oder geometrische Formen. Mit zwei Mengen lässt sich eine Art Addition ausführen, indem man ihre jeweiligen Inhalte in einen neuen Beutel schüttet. Und auch ein Analogon für die Multiplikation gibt es für Mengen (hierbei werden alle Paare von Elementen aus beiden Mengen gebildet).

Schnell traten in Cantors Überlegungen auch Unendlichkeiten auf. Denn sobald man zum Beispiel die Mengen aller natürlichen Zahlen (1, 2, 3, …) betrachtet, stellt man fest, dass die Elemente nach oben hin unbegrenzt sind. Man kann jede ganze Zahl um eins erhöhen und erhält dadurch eine neue natürliche Zahl. Die Menge ist daher unendlich groß.

Um die Größe einer Menge formal zu definieren, setzte Cantor auf ein bestimmtes Vergleichsverfahren: Zwei Mengen sind gleich groß, wenn man jedes Element aus der einen Menge exakt einem Element aus der zweiten zuordnen kann. Wenn Menge 1 zum Beispiel der Anzahl von Sitzplätzen in einem Bus entspricht und Menge 2 mehrere Menschen beschreibt, dann kann man jeder Person einen Sitzplatz zuweisen und schauen, ob es am Ende noch freie Sitzplätze gibt (in diesem Fall ist Menge 1 größer als Menge 2) oder stehende Personen (dann ist Menge 2 größer als Menge 1). Geht die Zuordnung hingegen auf, dann sind Menge 1 und Menge 2 gleich groß.

Für endliche Mengen macht dieses Verfahren durchaus Sinn. Es lässt sich aber auch auf unendliche Mengen erweitern. In diesem Fall ergeben sich allerdings unerwartete Ergebnisse. So stellt sich heraus, dass die Menge aller geraden Zahlen (2, 4, 6 und so weiter) und die der natürlichen Zahlen (1, 2, 3, …) gleich groß sind. Denn man kann jeder natürlichen Zahl genau eine gerade Zahl zuordnen – und diese Aufteilung geht auf: Der 2 wird die 1 zugeordnet, der 4 die 2, der 6 die 3, …, der geraden Zahl 2n die natürliche Zahl n und so weiter.

Wie Cantor erkannte, lässt sich sogar eine solche Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen und den Bruchzahlen finden. Das bedeutet: Die natürlichen Zahlen, die geraden Zahlen, die Bruchzahlen – aber auch die Primzahlen, die ungeraden Zahlen und so weiter –, all diese Mengen sind gleich groß. Die Anzahl ihrer Elemente entspricht ein und derselben Unendlichkeit. Als ich das zum ersten Mal hörte, dachte ich: »Ja, okay, dann gibt es wohl nur eine Art von Unendlichkeit – und damit ist das Rechnen mit Unendlichkeiten auch ziemlich trivial.« Aber ich lag falsch.

Ein Turm aus Unendlichkeiten

Denn Cantor fand auch heraus, dass es Mengen gibt, für die sich keine solche Zuordnung zu den natürlichen Zahlen finden lässt. Ein Beispiel dafür sind die reellen Zahlen. Das zeigte Cantor, indem er bewies, dass eine Auflistung aller reeller Zahlen niemals vollständig sein kann (denn eine Zuordnung zu den natürlichen Zahlen ist nichts anderes als eine Auflistung). Das bedeutet: Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist größer als die der natürlichen Zahlen.

Das war ein erstaunliches Ergebnis, das viele Fachleute seinerzeit ablehnten. Doch Cantor ging noch viel weiter: Er belegte, dass es nicht nur zwei verschiedene Unendlichkeiten gibt, sondern unendlich viele davon. Man kann einen regelrechten Turm an unendlichen Größen aufbauen und sie immer weiter steigern. Entscheidend hierfür ist eine Operation, die als Potenzmengen-Operation bekannt ist: Indem man eine unendlich große Menge nimmt und deren »Potenzmenge« bildet (also die Menge aller Teilmengen bildet), erhält man eine noch größere Menge.

Die Potenzmengen-Operation lässt sich am einfachsten für endliche Mengen verstehen. Für die Menge {1, 2, 3} muss man hierfür zunächst alle Teilmengen betrachten, also {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} und {}, und diese dann zu einer neuen Menge vereinen. Die Potenzmenge P von {1, 2, 3} lautet also: P({1, 2, 3}) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {}}. Wie sich herausstellt, enthält die Potenzmenge einer endlichen Menge mit n Elementen stets 2ⁿ Elemente. Und wie Cantor bewies, gilt das auch für unendliche Mengen: Wenn die Menge der natürlichen Zahlen ${\mathrm{\aleph }}_0$ Elemente enthält (so wird diese Unendlichkeit in der Mengenlehre bezeichnet, es wird als »Aleph Null« gelesen), dann hat ihre Potenzmenge $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ Elemente. Cantor zeigte auch, dass die Unendlichkeit der reellen Zahlen $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ entspricht.

Und damit konnte er nun den Turm aus Unendlichkeiten bauen: Indem man die Potenzmenge der reellen Zahlen bildet, erhält man eine Menge der Größe $2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$, und diese kann man wiederum steigern, indem man deren Potenzmenge bildet und so weiter. Durch wiederholtes Anwenden der Potenzmengen-Operation ergeben sich immer größere Mengen.

Wir wissen, dass wir nichts wissen

Mit diesen Erkenntnissen können wir nun zusammenfassen, was wir über Unendlichkeiten wissen, um damit rechnen zu können. Was passiert zum Beispiel, wenn ich zwei Unendlichkeiten $\lambda$ und $\mu$ addiere? In diesem Fall muss ich das Äquivalent der Addition der zugehörigen Mengen betrachten: Falls A eine Menge der Größe $\lambda$ ist und B zu $\mu$ gehört, dann muss ich untersuchen, wie groß die Vereinigung von A und B ist, um $\lambda$ + $\mu$ zu berechnen. Und Cantor bewies, dass die Vereinigung zweier unendlicher Mengen immer nur so groß ist wie die größte der beiden Mengen. Demnach ist $\lambda$ + $\mu$ gleich $\lambda$ oder $\mu$ – je nachdem, welche Unendlichkeit größer ist.

Cantor zeigte, dass Gleiches auch für die Multiplikation gilt: Möchte man zwei Unendlichkeiten $\lambda$ und $\mu$ multiplizieren, dann greift man auf das Analogon des Produkts von Mengen A und B zurück, und wie sich herausstellt, ist die sich ergebende Menge genau so groß wie A oder B selbst – je nachdem, welche größer ist. Also ist auch $\lambda \cdot \mu$ gleich $\lambda$ oder $\mu$, abhängig davon, welche Unendlichkeit am größten ist. Das macht das Rechnen mit Unendlichkeiten denkbar einfach! Mit Sicherheit hat so niemand mehr Probleme, sich das Einmaleins der Unendlichkeiten zu merken.

Erstaunlicherweise sind diese beiden Ergebnisse aber so ziemlich alles, was Mathematiker über das Rechnen mit Unendlichkeiten wissen. Alles andere ist unbekannt – und wird es vermutlich auch für immer bleiben.

Eine Frage, die sich Cantor zum Beispiel stellte, war: Wenn die Größe der natürlichen Zahlen ${\mathrm{\aleph }}_0$ ist und die der reellen Zahlen $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ – bedeutet das, dass $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ die nächstgrößere Unendlichkeit nach ${\mathrm{\aleph }}_0$ ist? Sprich: Ist jede Menge, die kleiner ist als die reellen Zahlen, automatisch so groß wie die natürlichen Zahlen? Diese Annahme ist als »Kontinuumshypothese« bekannt. Und so spannend die Frage auch ist: Es gibt keine Antwort darauf.

Denn wie die Logiker Kurt Gödel und Paul Cohen bewiesen haben, gehört die Kontinuumshypothese zu den Problemen, die sich mit den Werkzeugen der Mathematik nicht beantworten lassen. Egal, wie sehr man sich bemüht und wie erfindungsreich man ist, es wird nie gelingen, die Kontinuumshypothese zu beweisen oder zu widerlegen. Man müsste dafür schon die gesamte Grundlage der Mathematik überarbeiten. Das bedeutet aber auch: Wir werden niemals wissen, wie groß die Menge der reellen Zahlen wirklich ist.

Tatsächlich sind fast alle Fragen, die sich um das Rechnen mit Unendlichkeiten drehen, von solchen »Unentscheidbarkeiten« von Gödel und Cohen betroffen. Daher schien es jahrelang wie ein hoffnungsloses Forschungsgebiet: Warum sollte man sich damit beschäftigen, wenn ohnehin nichts herausgefunden werden kann? Doch das sah der israelische Mathematiker Saharon Shelah anders.

Die unendlichste Unendlichkeit und die mysteriöse Vier

Wie Cantor bereits herausgefunden hatte, gibt es unendlich viele Unendlichkeiten, beginnend mit der kleinsten: ${\mathrm{\aleph }}_0$ (die Größe der natürlichen Zahlen), die nächstgrößere wird als ${\mathrm{\aleph }}_1$ bezeichnet, gefolgt von ${\mathrm{\aleph }}_2$ und so weiter. Für all diese ${\mathrm{\aleph }}_n$ konnte der US-Mathematiker William Easton beweisen, dass nichts über ihre Arithmetik bekannt ist, außer den beiden zuvor genannten Regeln zur Addition und Multiplikation. Es wird sich niemals ermitteln lassen, was beispielsweise $2^{{\mathrm{\aleph }}_n}$ ergibt oder was ${\mathrm{\aleph }}_0^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ ist.

Easton führte seinen Beweis für den Fall, dass n einen Vorgänger n–1 hat, also zum Beispiel n eine endliche Zahl ist. Da sich aber unendlich viele Unendlichkeiten bilden lassen, kann n auch unendliche Werte annehmen, etwa die erste Unendlichkeit $\omega$. Diese unendliche Zahl $\omega$ hat keinen Vorgänger, da es keine größte natürliche Zahl n gibt. Die Fachwelt ging anfangs davon aus, dass sich Eastons Beweis auch für solche »singulären« Unendlichkeiten ohne Vorgänger wie ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ verallgemeinern lässt – sprich, dass man auch für solche Unendlichkeiten nichts über ihre arithmetischen Eigenschaften erfahren kann. Doch wie sich herausstellt, ist das nicht der Fall.

Tatsächlich lässt sich deutlich mehr über singuläre Unendlichkeiten herausfinden als über ihr Gegenstück, die regulären Unendlichkeiten. Zum Beispiel lassen sich einige Potenzen von singulären Unendlichkeiten berechnen. In den vergangenen Jahrzehnten hat sich das Fachgebiet der Kardinalzahlenarithmetik (wie das Rechnen mit Unendlichkeiten formal heißt) stark weiterentwickelt. Anstatt immer nur auf unbeweisbare Fragen zu stoßen, lässt sich erstaunlich viel in Erfahrung bringen, wenn man den Fokus auf singuläre Unendlichkeiten legt.

»Warum zur Hölle ist da eine Vier? Und können wir daraus irgendwie eine Eins machen?«Saharon Shelah, Mathematiker

Doch in dem Fachgebiet sticht ein Ergebnis heraus, das bis heute viele Fragen aufwirft. Dieses taucht auf, wenn man ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ untersucht – also berechnet, was die erste singuläre Unendlichkeit ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ unendlich oft (das heißt ${\mathrm{\aleph }}_0$-mal) mit sich selbst multipliziert ergibt. Während sich die Potenz ${\mathrm{\aleph }}_0^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ beweisbar nicht berechnen lässt, gibt es für den singulären Fall ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ eine Antwort:

Diese Ungleichung sorgt bis heute in der Community der Mengenlehre für Aufruhr. Denn in dem Fachbereich tauchen niemals Zahlen abseits von 0, 1, 2 oder unendlich auf. Hier aber erscheint eine 4. Shelah schrieb dazu in einem 2001 erschienenen Aufsatz: »Warum zur Hölle ist da eine Vier? Und können wir daraus irgendwie eine Eins machen?«

Trotz zahlreicher Fortschritte auf dem Gebiet gibt es bis heute keine Antwort auf diese Frage. Die Vier sticht weiterhin als Ausreißer heraus – als seltsam spezifische Zahl, die sich keiner erklären kann. Hat die Vier vielleicht eine besondere Rolle in der Mengenlehre? Und wenn ja, weshalb? Vielleicht reiht sich das ja in die Liste der Fragen ein, die niemals eine Antwort finden werden.