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Freistetters Formelwelt: Warum kompliziert manchmal einfacher ist

Schon Einstein wusste: Der Epsilon-Tensor sieht kompliziert aus, aber in Wirklichkeit spart er Arbeit. Und das nicht nur in der Relativitätstheorie.
Ein sehr abstrakter Rubik-Würfel aus bläulichem Licht und schwarzen Kuben. Sieht sehr Sci-Fi-mäßig aus, aber wir wissen ja: wirklich revolutionäre Dinge haben runde Ecken.

Wer an der Universität ein naturwissenschaftliches Studium beginnt, muss dafür die Grundlagen der Mathematik lernen. Dabei trifft man ziemlich bald auf eine Formel, die so aussieht:

Das wirkt ein wenig kompliziert. Und angesichts der Tatsache, dass mit dieser Formel genau genommen ja nur die Zahlen 0, 1 und -1 definiert werden, wirkt es deutlich komplizierter, als es sein sollte. Wieso treibt man so einen Aufwand, um das Vorzeichen einer Zahl aufzuschreiben?

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Weil man sich damit sehr viel Arbeit ersparen kann, sofern man die komplexe Definition einmal verinnerlicht hat. Die Formel beschreibt den so genannten Epsilon-Tensor, der auch das Levi-Civita-Symbol genannt wird, nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Civita. Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, das man – nicht ganz präzise – als Verallgemeinerung einer Matrix oder eines Vektors beschreiben kann. Ein Tensor nullter Stufe ist nichts anderes als eine Zahl.

Fasst man mehrere Zahlen zu einem Vektor zusammen, erhält man einen Tensor erster Stufe. Ein Beispiel dafür ist die Geschwindigkeit, die ja nicht nur einen konkreten Wert hat, sondern immer auch in eine Richtung verläuft. Um sie zu beschreiben, braucht es also drei Zahlen; eine für jede Raumrichtung. Zusammen ergeben sie einen Vektor.

Aber nicht alles lässt sich durch Vektoren beschreiben; manchmal ist eine Matrix nötig – ein Tensor zweiter Stufe. Ein physikalisches Beispiel für so einen Tensor zweiter Stufe ist der Elastizitätstensor, der mechanische Spannungen eines Materials beschreibt. Hier müssen Kräfte betrachtet werden, die in zwei unterschiedliche Raumrichtungen verlaufen, und man braucht deswegen auch eine zweidimensionale Anordnung an Zahlen dafür.

Einstein und der Epsilon-Tensor

Der Epsilon-Tensor steht noch eine Ebene darüber, wie man auch an den drei Indizes i, j und k erkennen kann. Er hat keine physikalische Entsprechung, sondern ist ein rein mathematisches Objekt. Die Permutation aus der Definition bezieht sich auf die Anzahl der nötigen Vertauschungen. Ein Beispiel: Um von (1,2,3) auf (2,3,1) zu kommen, muss man zuerst 1 und 2 vertauschen und danach noch 1 und 3. Es braucht also eine gerade Anzahl an Vertauschungen, weswegen ε231 = 1 ist. Auf die gleiche Art kann man den Wert des Tensors für andere Kombinationen berechnen.

Aber wozu das alles? Weil es das mathematische Leben leichter macht! Will man zum Beispiel das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen, also sie so multiplizieren, dass das Ergebnis selbst wieder ein Vektor ist, dann ist das viel Rechen- und vor allem Schreibarbeit. Die erste Komponente des Ergebnisvektors berechnet sich aus den zweiten und dritten Komponenten beider Ausgangsvektoren, die zweite Komponente aus den ersten und dritten, und so weiter.

Mit dem Epsilon-Tensor lässt sich das Resultat sehr viel einfacher aufschreiben: Die Multiplikation zweier Vektoren x und y wird damit zu εijkxjyk. Wer es nicht glaubt, kann gerne nachrechnen; muss dazu aber noch die einsteinsche Summenkonvention berücksichtigen: Über doppelt auftretende Indizes eines Produkts wird summiert; das Summenzeichen muss nicht mehr extra angeführt werden.

Wie der Name vermuten lässt, wurde diese Regel von Albert Einstein eingeführt, und zwar aus praktischen Gründen. Die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie sind voll mit Tensoren, die miteinander multipliziert werden müssen. Um da nicht die Übersicht zu verlieren, braucht es entsprechende Vorkehrungen.

Wer – so wie ich damals – frisch an die Uni kommt und dort mit Epsilon-Tensoren und Indexschreibweise konfrontiert wird, kann schnell einmal den Mut verlieren. Auf den ersten Blick ist das alles sehr verwirrend, und man fragt sich, wohin das führen soll. Aber hat man diese neue Sprache einmal verstanden, will man sie nicht mehr missen. In der Mathematik muss man sich auch fürs Faulsein ein klein wenig anstrengen.

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