Ich bin ein großer Fan der Fakultät, auch wenn ich nicht genau sagen kann, was mich an dieser speziellen mathematischen Operation fasziniert. Vielleicht ist es die Tatsache, dass man damit überraschend schnell extrem große Zahlen fabrizieren kann; vielleicht liegt es aber auch einfach daran, dass sie mit einem »!« dargestellt wird. Dieses Symbol erregt fast schon automatisch Aufmerksamkeit. Auf jeden Fall schaue ich immer genau hin, wenn ich in einer Formel eine Fakultät finde. Denn dann wird es sehr oft interessant. Beim »Problem von Brocard und Ramanujan« trifft das definitiv zu. Die zugehörige mathematische Gleichung ist leicht zu verstehen:

Gesucht werden also Fakultäten, die Vorgänger von Quadratzahlen sind, oder anders gesagt: Man sucht natürliche Zahlen m und n, für die die obige Gleichung stimmt. Der Erste, der sich diese Frage gestellt hat, war der französische Mathematiker Henri Brocard Ende des 19. Jahrhunderts. Unabhängig davon hat auch der berühmte indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan im Jahr 1913 nach Lösungen dieser Gleichung gesucht. Drei davon waren damals bekannt, nämlich 4! + 1 = 5², 5! + 1 = 11² und 7! + 1 = 71².

Ob es neben 4, 5, und 7 noch andere Zahlen gibt, mit denen man die Gleichung lösen kann, ist bis heute rätselhaft. Mit der Hilfe von Computern wurden die Fakultäten der ersten Billiarde der natürlichen Zahlen geprüft, aber selbst wenn das ein Hinweis darauf ist, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt, braucht es in der Mathematik einen Beweis. Der berühmte ungarische Mathematiker Paul Erdős, ein Experte für Zahlentheorie und ein noch größerer Experte für Vermutungen und unbewiesene Aussagen (von denen er der Nachwelt jede Menge hinterlassen hat), war der Ansicht, dass es nur die Lösungen n = 4, 5 und 7 gibt – einen exakten Beweis konnte er allerdings auch nicht finden.

Die Vermutung von Brocard und Ramanujan hängt außerdem mit einer Formel aus dem Jahr 1985 zusammen, die David Masser und Joseph Oesterlé aufgestellt haben. Es geht dabei um natürliche Zahlen und deren Primfaktoren, und sie ist allgemein unter der Bezeichnung »abc-Vermutung« bekannt. Aus ihr folgt, dass die Gleichung von Brocard und Ramanujan nur endlich viele Lösungen haben kann, allerdings bloß, wenn die abc-Vermutung stimmt. Und ob das so ist, wissen wir nicht. Ein Beweis aus dem Jahr 2012 ist bis heute von der mathematischen Community nicht anerkannt.

In ihrer Einfachheit erinnert die Formel ein wenig an den großen fermatschen Satz oder die goldbachsche Vermutung. Man versteht sofort, worum es geht, und es sieht eigentlich so aus, als sollte man schnell klären können, ob die Aussagen korrekt sind oder nicht – beziehungsweise wie viele Lösungen das Problem von Brocard und Ramanujan hat. Beim Satz von Fermat hat es allerdings mehr als 350 Jahre gedauert, bis ein definitiver Beweis erbracht wurde, und die goldbachsche Vermutung ist seit bald 300 Jahren unbewiesen. Wer weiß, wie lange es in diesem Fall dauern wird beziehungsweise ob wir überhaupt jemals eine Lösung finden?

Man kann sich natürlich fragen, ob es wirklich so dringend ist, eine Antwort auf das Problem von Brocard und Ramanujan zu bekommen. Vermutlich nicht; es handelt sich dabei um eine rein abstrakte Beziehung ohne Auswirkung auf unser normales Leben. Trotzdem geht es dabei um die Eigenschaften der Zahlen selbst, um das Verhalten der natürlichen Zahlen, die die Grundlage der gesamten Mathematik darstellen. Wenn die Gleichung tatsächlich nur von n = 4, 5 und 7 und sonst von keiner anderen Zahl erfüllt wird, dann wäre es gut, das auch definitiv zu wissen. Denn dann kann man darüber nachdenken, warum das so ist. Zahlen mögen abstrakt sein – dennoch lohnt es sich, ihr Verhalten zu verstehen.