Der schottische Bergsteiger William W. Naismith hat am 2. Mai 1892 eine Wanderung über die schottischen Berge Cruach Ardrain, Stob Binnein und Ben More gemacht. Über den Ausflug zu diesen knapp über 1000 Meter hohen Erhebungen berichtete er in einer kurzen Notiz im »Scottish Mountaineering Club Journal«. Er gab die Zeit der Wanderung mit sechseinhalb Stunden an und beendete den Eintrag mit folgendem Satz: »Dies stimmt genau mit einer einfachen Formel überein, die bei der Abschätzung der Zeit hilfreich sein kann, die Männer in durchschnittlich guter körperlicher Verfassung für einfache Bergtouren einplanen sollten: eine Stunde für jeweils drei Meilen auf der Karte sowie eine zusätzliche Stunde für jeweils 2000 Fuß Aufstieg.«

Diese Faustregel ist heute als »Naismith’s rule« bekannt, und mathematisch lässt sie sich in folgender Form aufschreiben:

Die Gleichung stammt aus dem Aufsatz »A mathematical excursion in the isochronic hills«, den Philip Scarf, Professor für angewandte Statistik an der britischen University of Salford, im Jahr 2008 veröffentlicht hat. Darin geht es eigentlich um die Navigation in den Bergen und die Frage, welche Wege um oder über Hügel existieren, die gleich lange dauern. Als Grundlage für seine Überlegungen nimmt Scarf die Faustregel von Naismith, die er in Form der obigen Gleichung umformuliert hat.

Die äquivalente Distanz (eq) setzt sich aus der horizontal zurückgelegten Entfernung x und der vertikalen y zusammen. Den Parameter α bezeichnet Scarf als Naismith-Zahl, deren Wert 7,92 beträgt. Das ergibt sich direkt aus den Angaben über Naismiths Wanderung: Wenn man eine Stunde für drei Meilen rechnet und eine Extrastunde pro 2000 Fuß Aufstieg, dann entsprechen diese 2000 Fuß einer äquivalenten Distanz von drei zusätzlichen Meilen beziehungsweise 15 840 Fuß. Dividiert man 15 840 durch 2000, ergibt sich der Wert α = 7,92.

Damit kann man glücklicherweise auf die für uns ungewohnten britischen Einheiten verzichten und das Gesetz allgemein formulieren: Wandert man eine Route, die aus einer horizontalen Distanz von x Einheiten besteht und einer vertikalen Distanz von y Einheiten, entspricht das einer äquivalenten Distanz von x + αy.

Eine praktische Faustformel für unterwegs

In der Praxis kann man den Wert für α auch auf 8 aufrunden. Damit lässt sich unterwegs etwas leichter rechnen. Oder besser noch: bevor man sich auf den Weg macht. Wenn eine Wanderung auf der Karte eine Strecke von zum Beispiel 20 Kilometern beträgt, klingt das vielleicht nach einer machbaren Distanz für einen Tagesausflug – aber wenn man dabei etwa auch in Summe 2700 Höhenmeter überwinden muss, ergibt das eine äquivalente Distanz von 20 + (2,7 ⋅ 8) = 41,6 Kilometern. In diesem Fall sollte man sich genau überlegen, ob die eigene Kondition, die Verpflegung und unter Umständen auch das verfügbare Tageslicht für diesen Fast-Marathonlauf ausreichen.

Ohne ausreichende Erfahrung kann man vertikale Distanzen leicht unterschätzen. Das kann ich aus eigener Erfahrung bestätigen: Ich habe Bergläufe und Wanderungen schon mehr als einmal »kurz« unterhalb eines Gipfels abbrechen müssen. Auch wenn laut Karte nur ein paar Hundert Meter fehlten, hätte es im steilen Gelände viel zu lange gedauert.

Man kann die Formel von Scarf auch leicht auf die »Pace« umrechnen, also die Minuten, die man pro Kilometer braucht. Wenn man in der Ebene einen Kilometer zum Beispiel in 10 Minuten schafft, dann muss man diesen Wert in den Bergen mit (1 + α ⋅ m) multiplizieren, wobei m der Gradient ist. Muss man zum Beispiel 500 Höhenmeter über fünf Kilometer überwinden, dann ist m = 0,1. Statt 10 Minuten pro Kilometer braucht man in diesem Fall 10 ⋅ (1 + 8 ⋅ 0,1) = 18 Minuten, also fast doppelt so lange.

Egal ob schnell oder langsam: Ein Ausflug in die Berge macht Spaß. Und mit ein bisschen Mathematik kommt man auch sicher wieder nach Hause.