Die Ankunft des Frühlings ist absehbar und damit auch der Beginn der Gartenarbeit. Ich werde dieses Jahr einiges zu tun haben, denn ein paar Hochbeete müssen versetzt werden. Das bedeutet für mich, dass ich viel Erde von einem Ort zum anderen schaufeln muss. Dieser Arbeit blicke ich nicht gerade mit großer Freude entgegen, obwohl das Thema erstaunlich viel mathematisches Potenzial hat. Das zeigt diese Formel:

Sie beschreibt die »1-Wasserstein-Distanz«. Um zu verstehen, was das mit Erdhaufen zu tun hat, müssen wir uns die Bestandteile der Formel genauer ansehen. Mit μ und 𝜈 werden zwei Verteilungen bezeichnet, im Integral steht die Funktion d(x,y), die den Abstand zwischen zwei Punkten in einem metrischen Raum M bestimmt. Dabei kann es sich etwa um eine Ebene mit euklidischem Abstand handeln, die Formel gilt aber allgemein für einen Raum mit Abstandsfunktion. Der Ausdruck γ(x,y) beschreibt eine »Kopplung« zwischen den Verteilungen μ und 𝜈.

Das klingt abstrakt, doch wenn wir uns vorstellen, dass μ und 𝜈 die Verteilung von Masse beschreiben, dann wird es anschaulich: Ein Erdhaufen lässt sich als Massenverteilung darstellen und eine Kopplung ist ein Plan, wie Masse von x nach y transportiert wird. Alles, was von x entfernt wird, entspricht μ(x), und alles, was bei y ankommt, ist 𝜈(y). Das Integral summiert für jede transportierte Masseneinheit den Weg mit der transportierten Masse. Das kann man als gesamte Arbeit interpretieren, die nötig ist, um den Erdhaufen mit der Verteilung μ in einen anderen mit der Verteilung 𝜈 zu überführen. Am Ende wird das Infimum genommen, also der Transportplan gesucht, bei dem am wenigsten Arbeit anfällt.

Wegen dieses anschaulichen Beispiels nennt man die Formel auch die »earth mover’s distance«. Sie geht zurück auf das klassische Problem des optimalen Transports, das der französische Wissenschaftler Gaspard Monge Ende des 18. Jahrhunderts erstmals formulierte. Ihm ging es dabei nicht nur um Erdhaufen, sondern auch um die Frage, wie man den günstigsten Weg findet, eine gegebene Anfangsverteilung in eine gewünschte Endverteilung zu überführen.

In moderner mathematischer Formulierung handelt es sich um Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem metrischen Raum. In der Praxis kann das vieles sein: die Massenverteilung eines Erdhaufens, die Helligkeitsverteilung eines Bildes, die Niederschlagsverteilung oder ein Temperaturfeld in der Meteorologie – sogar ein rein mathematisch abstraktes Objekt.

Wasserstein-Distanz in der Klimawissenschaft

An der Lösung des Transportproblems arbeiteten neben Monge auch der sowjetische Mathematiker Leonid Kantorowitsch (der zu diesem Thema 1975 den »Nobelpreis« für Wirtschaftswissenschaften erhielt) und Leonid Nisonovich Vaserstein, nach dem die Formel benannt ist.

Heute spielt sie nicht nur in der reinen Mathematik eine Rolle. Auch in der Klimawissenschaft wird sie genutzt, um Vorhersagen mit Beobachtungen zu vergleichen und Modelle zu überprüfen. Klassische Fehlermodelle reagieren dort oft zu sensibel auf räumliche Verschiebungen, aber die Wasserstein-Metrik erlaubt einen sinnvollen Vergleich komplexer Klimadaten. Man braucht sie außerdem in der Logistik, beim tatsächlichen Transport von Gütern sowie in der Bildbearbeitung, um die Ähnlichkeit zweier Bilder zu messen.

Ihre Anwendungen sind mindestens so vielfältig wie das Leben Gaspard Monges selbst. Er war Physiker, Chemiker und Mathematiker, beteiligte sich aktiv an der Französischen Revolution, wurde Marineminister und begleitete Napoleon Bonaparte nach Ägypten. Sein Name steht auf dem Eiffelturm. Und er entwickelte eine mathematisch interessante Theorie des Kartenmischens. Nach seinem Tod 1818 wurde er zunächst auf dem Friedhof Père-Lachaise beigesetzt und 1989 ins Panthéon überführt – vermutlich ohne diesen Transport vorher exakt zu berechnen.