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Freistetters Formelwelt: Vampirzahlen – Vorsicht, Reißzähne!

Mit Vampiren hat man es vor allem im Fantasy- und Horrorgenre zu tun. Aber mit ein bisschen Kreativität findet man sie auch in der Mathematik.
Hungriger Vampir

Dass es sehr viele Zahlen gibt, ist eine triviale Erkenntnis (dass es von ihnen sogar mehr als unendlich viele gibt, ist dagegen alles andere als trivial – doch das ist eine andere Geschichte). Es ist allerdings immer wieder erstaunlich zu sehen, nach welchen Gesichtspunkten sich diese Zahlen gruppieren lassen.

Betrachten wir dazu diese simple Gleichung:

Sofort kann man feststellen, dass die Rechnung korrekt ist. Schaut man ein wenig genauer hin, fällt einem vielleicht auf, dass sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens die gleichen Ziffern auftauchen. Die »1« und die »2« der 12 sind bei der 21 zwar vertauscht, aber bei der Multiplikation wurden nur die Ziffern verwendet, die auch im Ergebnis auftauchen. Und schließlich könnte man noch bemerken, dass die vierstellige Zahl 1260 aus dem Produkt von zwei zweistelligen Zahlen entsteht. Das ist nicht selbstverständlich; denn 1260 = 126 · 10 wäre zum Beispiel ebenfalls korrekt.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Nimmt man all das zusammen, kommt man auf die Definition der so genannten »Vampirzahlen«. Das sind natürliche Zahlen, die sich aus einer geraden Anzahl von Ziffern bilden lassen. Außerdem muss es möglich sein, zwei Faktoren der Zahl zu finden, die jeweils halb so viele Ziffern haben wie die Ausgangszahl und zusammen alle Ziffern der Ursprungszahl enthalten (in beliebiger Reihenfolge, es dürfen jedoch nicht beide eine »0« am Anfang oder Ende haben).

Für das Beispiel 1260 bedeutet das: Weil sie aus vier Ziffern besteht, sind zwei zweistellige Zahlen gesucht, die aus den Ziffern 1, 2, 6 und 0 bestehen und miteinander multipliziert wieder 1260 ergeben. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass nur 10, 12, 20, 21 und 60 für die Rechnung in Frage kommen. Daraus folgt sofort, dass lediglich 21 · 60 das korrekte Ergebnis liefert.

Brad Pitt als Inspirationsquelle

Neben 1260 gibt es nur sechs weitere vierstellige Vampirzahlen: 1395, 1435, 1530, 1827, 2187 und 6880 (aber unendlich viele mit mehr als vier Stellen). Entdeckt hat sie der Wissenschaftsjournalist und Autor Clifford Pickover im Jahr 1994. Damals war gerade der Film »Interview mit einem Vampir« populär, was Pickover bei der Namensgebung inspirierte: So wie demnach Vampire unerkannt unter Menschen leben, existieren auch diese Zahlen unerkannt (zumindest aus damaliger Sicht) zwischen all den anderen. Das mag ein wenig weit hergeholt sein, doch Vampirzahlen sind seit 1994 ein fixer Bestandteil der Unterhaltungsmathematik. Die beiden Faktoren, aus denen sie berechnet werden, nennt man Reißzähne.

Es gibt Vampirzahlen, die mehr als ein Paar Reißzähne haben. Die kleinste davon ist 125 460, die man sowohl als 204 · 615 als auch als 246 · 510 schreiben kann. Um eine Vampirzahl mit drei Reißzahnpaaren zu finden, muss man bis zur 13 078 260 gehen – und sogar noch weiter, möchte man Zahlen mit besser ausgestatteten Gebissen entdecken.

Mit einer Vampirquadratzahl hat man es zu tun, wenn die beiden Reißzähne identisch sind (wie für 5 267 275 776 = 72 576 · 72 576), und bei einer Vampirprimzahl bestehen die Reißzähne aus Primfaktoren (die kleinste davon ist 117 067 = 167 · 701). Man kann nach doppelten Vampirzahlen suchen, also Vampirzahlen, deren Reißzähne selbst wieder Vampirzahlen sind. Tatsächlich findet man Vampirzahlen ebenso im Binärsystem oder in anderen Zahlensystemen (es klappt sogar mit römischen Zahlen).

Ob Vampirzahlen irgendwann auch abseits der Unterhaltung zu mathematischer Erkenntnis beitragen werden, muss sich noch zeigen. Doch wenn Vampire eines haben, dann Zeit.

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