»Weine nicht, ich brauche all meinen Mut, um mit 20 Jahren zu sterben.« Die letzten Worte von Évariste Galois an seinen Bruder könnten kaum dramatischer sein. Der junge Mann war am 30. Mai 1832 unter nicht ganz geklärten Umständen in einem Duell tödlich verwundet worden. Damit endete das Leben eines verkannten Genies, dessen mathematische Erkenntnisse das Fach bis heute prägen. Die nach ihm benannte Galoistheorie beschäftigt sich mit Symmetrien. Mit den Methoden, die Galois entwickelt hatte, löste er ein jahrtausendealtes Rätsel: Er konnte erklären, welche Polynomgleichungen eine Lösungsformel besitzen – und welche nicht.

Wenn Sie an den Mathematikunterricht in der Schule zurückdenken, fällt Ihnen sicher wieder die p-q-Formel ein – oder Mitternachtsformel, falls Sie in Bayern aufgewachsen sind. Mit dieser lässt sich die Lösung einer quadratischen Gleichung berechnen. Zur Erinnerung: Falls Sie wissen möchten, welche Nullstellen das Polynom x² + p·x + q hat, müssen Sie bloß folgende Gleichung lösen: x_1/2 = −^p⁄₂ ± √[(^p⁄₂)²−q]. Diese Art von Aufgabe konnten bereits die Babylonier vor 4000 Jahren lösen, wie gefundene Tontafeln zeigen.

Wie aber sieht es mit Polynomen höheren Grades aus, die einen Exponenten haben, der größer als zwei ist? Wie löst man beispielsweise eine Gleichung der Form x³ + a·x² + b·x + c = 0? Schon muss man ein gutes Stück vorwärts in der Zeit springen, denn es gelang erst den Gelehrten Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia und Gerolamo Cardano um das Jahr 1500 herum, eine allgemeine Formel zur Lösung von Polynomen dritten Grades zu finden. Allerdings ist die Gleichung so kompliziert, dass man ihr in der Schule kaum begegnet. Stattdessen greift man in solchen Fällen meist auf die Polynomdivision zurück. Dabei nutzt man den Umstand, dass ein Polynom dritten Grades stets drei Nullstellen r₁, r₂ und r₃ besitzt und dass sich die Polynomgleichung als Produkt umschreiben lässt: Das heißt, x³ + a·x² + b·x + c = 0 ist das Gleiche wie: (x − r₁)·(x − r₂)·(x − r₃) = 0. Indem man eine Nullstelle r₁ errät, kann man das kubische Polynom durch den entsprechenden Term (x − r₁) teilen. Übrig bleibt eine quadratische Gleichung, die man dann mit der p-q-Formel lösen kann.

Es gibt keine Lösungsformel für Polynome fünften Grades

Im Jahr 1540 konnte Lodovico Ferrari schließlich eine Lösungsformel für Polynome vierten Grades angeben. Doch dann war Schluss. Als Mathematikerinnen und Mathematiker nach entsprechenden Lösungen für Gleichungen fünften oder höheren Grades suchten, landeten sie in einer Sackgasse. Es dauerte mehr als 250 Jahre, bis sich herausstellte, dass alle Bemühungen zum Scheitern verurteilt waren: Wie der damals erst 22 Jahre alte norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel 1824 bewies, gibt es Polynome fünften Grades, deren Lösungen sich nicht durch eine endliche Verkettung von Wurzeln, Brüchen, Summen, Produkten und Differenzen darstellen lassen (Abel-Ruffini-Theorem). Sprich: Die Nullstellen mancher Gleichungen können extrem komplizierte Formen annehmen, etwa unendlich lange Summen oder Integrale enthalten.

Obwohl Abel mit nur 26 Jahren an Tuberkulose starb, hat er in seinem kurzen Leben erstaunliche mathematische Leistungen vollbracht. Zu seinen Ehren vergibt die Norwegische Akademie der Wissenschaften seit 2003 den Abelpreis an herausragende Mathematikerinnen und Mathematiker – mit einem Preisgeld von umgerechnet zirka 700 000 Euro zählt er zu den am höchsten dotierten Auszeichnungen des Fachs. Ironischerweise war Abel aber zeit seines Lebens bettelarm – und kämpfte dauernd um wissenschaftliche Anerkennung. Erst nach seinem Tod wurde das volle Ausmaß seines Genies bekannt. Dieses Schicksal teilt er mit seinem Kollegen Évariste Galois, der zur gleichen Zeit lebte und ebenfalls aus tragischen Gründen sehr früh starb.

Galois wuchs Anfang des 19. Jahrhunderts in Frankreich auf. Auch wenn er kein besonders guter Schüler war, stach er in Mathematik schon früh heraus. Er hatte allerdings die Angewohnheit, vieles im Kopf zu berechnen und seine Ergebnisse nur selten systematisch aufzuschreiben. Das mag mit ein Grund sein, warum die École Polytechnique – die damals angesehenste Universität des Landes – den jungen Mann gleich zweimal ablehnte. Mit gerade einmal 17 Jahren reichte Galois eine Arbeit bei der Académie des Sciences ein, in der er sich mit Lösungen von Polynomgleichungen beschäftigte und die bereits Teile der inzwischen nach ihm genannten Galoistheorie enthielt. Weil viele Zwischenschritte fehlten, lehnte die Akademie seine Schrift ab – ermutigte ihn aber, sie zu überarbeiten und erneut einzureichen. Doch Galois schien vom Pech verfolgt: Als er sein Manuskript erneut übermittelte, ging es verloren.

Von da an ging es für den Mathematiker immer weiter bergab. Er schloss sich den Republikanern an, die gegen den damals herrschenden König Louis-Philippe protestierten. Als er am 14. Juli 1831, dem Jahrestag des Sturms auf die Bastille, auf die Straße ging und demonstrierte, wurde Galois verhaftet und zu einer Haftstrafe von sechs Monaten verurteilt. Kurz zuvor hatte er seinen größten mathematischen Durchbruch erzielt: Er hatte eine Methode entwickelt, um zu erklären, welche Polynomgleichungen sich durch endliche Wurzelausdrücke lösen lassen und welche nicht. Als er seine Arbeit wieder einmal den renommierten Mathematikern der Académie des Sciences vorlegte, unter anderem Siméon Denis Poisson, zeigten diese sich allerdings nicht allzu begeistert: Sie hatten erwartet, Galois würde ihnen einfach zu prüfende Eigenschaften eines Polynoms nennen, anhand derer man sehen könne, ob die Nullstellen sich als endlicher Wurzelausdruck schreiben lassen. Stattdessen hatte der Mathematiker eine völlig neue Theorie formuliert, die eine bisher unbekannte Methode erforderte.

Ein tödliches Duell

Galois, der im Jahr 1832 in Haft saß, wurde während der in Europa grassierenden Cholera-Epidemie am 29. April vorzeitig entlassen und in ein Sanatorium verlegt. Dort lernte er Stéphanie-Félicie Poterin du Motel kennen, die Tochter des dort tätigen Arztes, und verliebte sich in sie. Ende Mai – einen Tag vor dem verhängnisvollen Duell – schrieb Galois hastig seine mathematischen Erkenntnisse nieder und schickte sie an seinen Freund und Kollegen Auguste Chevalier, mit der Bitte, seine Schriften an Carl Friedrich Gauß und Carl Gustav Jacob Jacobi weiterzuleiten. Es scheint, als ahnte Galois bereits, was passieren würde: Während des Duells, das wahrscheinlich um die junge Frau Stéphanie ausgetragen wurde, wurde der Mathematiker mit einem Bauchschuss zurückgelassen. Ein Bauer fand den Verwundeten erst Stunden später und brachte ihn in ein Krankenhaus, wo Galois am nächsten Tag in den Armen seines Bruders starb.

Weder Abel noch Galois erfuhren zu Lebzeiten gebührende wissenschaftliche Anerkennung. Weder Gauß noch Jacobi widmeten sich den Arbeiten, die ihnen Chevalier in Galois’ Namen weitergeleitet hatte. Erst im Jahr 1843, mehr als zehn Jahre nach dessen Tod, schenkte Joseph Liouville den Errungenschaften von Galois Aufmerksamkeit – und veröffentlichte sie in einem Fachjournal. Galois und Abel gelten inzwischen als die Begründer der Gruppentheorie, eines wichtigen Bereichs der Mathematik. Damit ebneten sie den Weg von der traditionellen Algebra, in der es hauptsächlich um Rechenoperationen von Zahlen geht, hin zur abstrakten Algebra, die sich mit Zusammenhängen aller möglichen Größen beschäftigt: Plötzlich geht es nicht mehr bloß um Zahlen, sondern auch um abstraktere Gebilde wie Gruppen, Ringe oder Körper.

Die Symmetrien von Polynomen

Anstatt die Polynomgleichungen selbst zu untersuchen, widmete sich Galois deren Lösungen. Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung x² − 2 = 0. Die Nullstellen x_1/2 = ±√2 sind schnell gefunden. Markiert man die zwei Werte auf einem Zahlenstrahl, fällt auf, dass sie symmetrisch um die Null verteilt sind. Galois gelang es, die geometrische Symmetrie auf algebraischer Ebene zu erweitern: Er fand Symmetrien in Gleichungen.

Obwohl das Polynom x² − 2 bloß aus ganzzahligen Koeffizienten (1·x² und 2) besteht, enthalten die Nullstellen irrationale Werte, nämlich √2. Um das Polynom zu beschreiben, braucht man also lediglich den »Körper« der rationalen Zahlen: Damit bezeichnet man in der Mathematik eine Menge von Zahlen, die man miteinander addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, ohne die Menge zu verlassen. Aus den ganzen oder natürlichen Zahlen kann man beispielsweise keinen Körper bilden: Wenn man etwa zwei durch drei teilt, ist das Ergebnis keine ganze oder natürliche Zahl. Die rationalen Zahlen, die auch Brüche enthalten, sind hingegen ein Körper: Unabhängig davon, wie man zwei rationale Zahlen miteinander verknüpft (etwa addiert oder dividiert), das Ergebnis ist stets wieder eine rationale Zahl.

Galois untersuchte, wie sich der Körper, mit dem man die Polynomgleichung aufbaut, von jenem Körper unterscheidet, in dem die dazugehörigen Nullstellen liegen. Anders ausgedrückt: Wie kann man die rationalen Zahlen erweitern, damit auch die Nullstellen darin enthalten sind? Eine Möglichkeit besteht darin, einfach zu den reellen Zahlen zu wechseln: Denn auch sie bilden einen Körper. Doch die reellen Zahlen sind deutlich größer als die rationalen. Galois suchte nach der kleinstmöglichen Erweiterung. Für unser Beispiel könnte man damit beginnen, die rationalen Zahlen ℚ einfach um die beiden Werte √2 und −√2 zu erweitern. Das Problem: Wenn man bloß diese zwei Zahlen hinzufügt, ist die erweiterte Menge kein Körper mehr. Wenn man √2 nämlich mit anderen Elementen aus den rationalen Zahlen verknüpft (wie √2 + 1 oder 3·√2), liegen die Ergebnisse nicht mehr in der erweiterten Menge.

Eine Erweiterung der rationalen Zahlen

Also konstruiert man eine ganz neue Menge, ähnlich wie die der komplexen Zahlen: Man definiert ℚ(√2) als jene Menge, die alle Elemente der Art a + b·√2 enthält, wobei a und b rationale Zahlen sind. Damit liegen in ℚ(√2) alle rationalen Zahlen sowie alle Vielfache und Summen aus rationalen Werten und √2. Es lässt sich leicht überprüfen, dass ℚ(√2) ein Körper ist – tatsächlich handelt es sich um den kleinsten Körper, der die Nullstellen des Polynoms x² − 2 umfasst.

Doch wozu all die Arbeit? Wie sich herausstellt, enthält die kleinstmögliche Körpererweiterung Informationen über das dazugehörige Polynom – unter anderem lässt sich darüber bestimmen, ob die Nullstellen ein endlicher Wurzelausdruck sind. Um das zu erkennen, muss man allerdings noch einen Schritt weiter gehen. Wie bereits erwähnt, besitzt das Polynom x² − 2 zwei Lösungen: √2 und −√2. Wenn man nun die eine Nullstelle im erweiterten Körper ℚ(√2) durch die andere ersetzt (was einer Spiegelung entspricht), muss man entsprechend a + b·√2 in a − b·√2 überführen. Diese Operation lässt sich durch eine Funktion f ausdrücken, die den einen Ausdruck auf den anderen abbildet, also: f(a + b·√2) = a − b·√2. Sie erinnern sich noch an den zuvor erwähnten Vergleich mit den komplexen Zahlen? In diesem Bild ist f die komplexe Konjugation.

Offenbar entspricht f einer Symmetrietransformation: Führt man f zweimal hintereinander aus, erhält man wieder den ursprünglichen Ausdruck: f(f(a + b·√2)) = a + b·√2. Es ist wie eine doppelte Spiegelung, die eine geometrische Figur unverändert lässt. Die Symmetrietransformationen zu einem Objekt – sei es eine geometrische Form wie ein Kreis oder eine abstraktere algebraische Struktur wie ein Körper – bilden eine Gruppe. Im Fall des erweiterten Körpers ℚ(√2) kann man zwei Symmetrietransformationen definieren: f und eine sehr langweilige Funktion e, die alle Ausdrücke unverändert lässt: e(a + b·√2) = a + b·√2. Die Transformationen e und f bilden zusammen eine Gruppe. Und wie Galois entdeckte, kann man jeder Art von Polynom eine entsprechende Gruppe zuordnen: die so genannte Galoisgruppe.

Ein Kriterium für die Lösbarkeit von Polynomen

Damit hat Galois eine Methode gefunden, um herauszufinden, wann sich die Nullstellen eines Polynoms als endlicher Wurzelausdruck schreiben lassen. Zunächst sucht man für das Polynom die kleinstmögliche Erweiterung des dazugehörigen Körpers, damit auch die Nullstellen darin enthalten sind. Anschließend untersucht man, welche Symmetrien die erweiterten Körper besitzen: Dafür ermittelt man alle Funktionen, welche die Nullstellen aufeinander abbilden. Diese Funktionen erzeugen dann die Galoisgruppe des Polynoms. Der Mathematiker konnte zeigen, dass die Struktur der Galoisgruppe darüber entscheidet, ob sich die Nullstellen als endliche Verknüpfungen von Wurzelfunktionen ausdrücken lassen: Damit eine endliche Lösungsformel existiert, muss die Galoisgruppe in einfachere Symmetriegruppen aufzuspalten sein, das heißt etwa zwei hintereinander ausgeführte Spiegelungen. Wie sich herausstellt, ist das für Galoisgruppen von Polynomen bis zum Grad vier immer der Fall. Doch wenn man Polynome mit größeren Exponenten, etwa x⁵ betrachtet, können die Galoisgruppen eine komplizierte Struktur haben, die sich nicht in einfache Bestandteile zerlegen lässt.

Manche Gleichungen fünften Grades, wie x⁵ − x⁴ − x + 1, haben Nullstellen, die sich durch endliche Ausdrücke darstellbar sind (in diesem Fall: +1, −1, i und −i). Bei anderen ist das hingegen nicht der Fall: Zum Beispiel braucht man für die Lösung von x⁵ − x + 1 = 0 hypergeometrische Funktionen, die aus unendlich vielen Summanden bestehen. Deshalb ist es nicht möglich, für Polynome von Grad fünf oder höher eine allgemeine Lösungsformel (ähnlich der p-q-Formel) anzugeben.

Damit hatte Galois ein allgemeineres Ergebnis erzielt als Abel, der bereits bewiesen hatte, dass es keine Lösungsformel für Polynome fünften Grades gibt. Dank Galois’ Arbeit kann man durch die nach ihm benannten Gruppen für jede Gleichung bestimmen, ob sie durch endliche Wurzelausdrücke lösbar ist oder nicht. Auf diese Weise hat Galois eines der größten Rätsel der Mathematik geknackt – und einen völlig neuen Bereich begründet, der inzwischen seinen Namen trägt, die Galoistheorie. Tatsächlich bauen selbst neuere Erkenntnisse des Fachs wie der Beweis des großen Satzes von Fermat oder das Langlands-Programm auf der Galoistheorie auf. Schade, dass er das nicht miterleben durfte.

​​Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!