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Freistetters Formelwelt: In der Unendlichkeit steckt oft mehr, als man denkt

Primzahlen genießen in der Zahlentheorie ganz besonderes Interesse. Manchmal lohnt es sich aber auch, die Zahlen zu betrachten, die nicht zu dieser prominenten Gruppe gehören.
Unendlich-Zeichen

Im Jahr 1905 konnte man in der britischen Zeitschrift »The Educational Times« unter der Überschrift »Questions for Solution« eine kurze Notiz eines »Rev. J. Cullen« lesen. Zweck dieser Rubrik war es, mathematische Fragestellungen zu publizieren und die Leserschaft aufzufordern, eine Antwort zu finden. In Frage Nummer 15897 interessierte sich der irische Priester und Mathematiker James Cullen für Zahlen der Form:

Er behauptete, dass unter allen Zahlen, die man für n = 1 bis n = 99 auf diese Weise bilden kann, nur eine einzige gebe, die eine Primzahl ist. Man muss nicht lange probieren, um diese eine Zahl zu entdecken; man trifft sie schon, wenn man in der obigen Gleichung n = 1 setzt. Dann nimmt C1 den Wert 3 an, was ganz offensichtlich eine Primzahl ist. Um zu zeigen, dass das für alle anderen Zahlen n die kleiner als 100 sind, nicht so ist, muss man sich allerdings ein bisschen mehr anstrengen.

James Cullen war sich ziemlich sicher, dass seine Vermutung stimmt, hatte aber ein paar Zweifel, was n = 53 angeht. Erst ein Jahr später konnte der Mathematiker Allan Cunningham bestätigen, dass C53 tatsächlich eine zusammengesetzte Zahl ist – und gleichzeitig auch alle anderen Fälle bis n = 200 abhandeln. Nur bei n = 141 vermutete er eine Ausnahme; was aber erst 1958 nachgewiesen wurde.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Im Laufe der Zeit widmeten sich immer mehr Menschen der Untersuchung von »Cullen-Zahlen«. Unter den ersten 1000 sind tatsächlich nur die Fälle n = 1 und n = 141 Primzahlen. Danach wurden 14 weitere Cullen-Primzahlen gefunden, von denen die größte mit n = 6 679 881 gebildet wird. Man vermutet, dass es unendlich viele derartiger Primzahlen gibt, das ließ sich bisher aber noch nicht beweisen.

In der Unendlichkeit herumstochern

In solchen Fällen kommt man mit dem Untersuchen immer größerer Zahlen nicht ans Ziel, denn es gibt unendliche viele, die man testen müsste. Auf den ersten Blick sieht es mit den so genannten »Riesel-Zahlen« anders aus. So nennt man eine natürliche, ungerade Zahl k, wenn die Folge k·2n−1 für alle n ≥ 1 keine Primzahl enthält. Der schwedische Mathematiker Hans Riesel, nach dem diese Zahlen benannt sind, fand 1956 ein Beispiel mit k = 509 203. Später kamen eine Handvoll weitere Riesel-Zahlen hinzu, die aber alle größer als 509 203 sind. Das »Riesel-Problem« besteht aus der Frage, ob es kleinere Riesel-Zahlen gibt. Selbst wenn es so scheint, als müsse man dafür nur die restlichen knapp 500 000 Ziffern austesten, landet man am Ende doch wieder bei der Unendlichkeit: Denn jedes k erzeugt eine unendliche Zahlenfolge, die es zu untersuchen gilt.

Auch heute, Jahrzehnte nach der Arbeit von Cullen und Riesel, gibt es engagierte Menschen, die sehr viel Zeit aufwenden, um der Unendlichkeit immer wieder kleine Stücke an Erkenntnis abzugewinnen. Diese Personen lassen sich nicht dadurch verunsichern, dass die Unendlichkeit durch ihre Anstrengungen kein bisschen geringer wird. Aber man kann sich dem Zauber der Zahlen eben nur schwer entziehen. Wie man zählt, lernen wir zwar schon im Kindergarten, aber in der simplen Abfolge der Ziffern steckt ein ganzes Universum voller Fragen.

Die aus heutiger Sicht seltsam wirkende Rubrik der mathematischen Fragestellungen in der »Educational Times« demonstriert das wunderbar. Wer Lust hat, kann sich dort gerne einmal umsehen und zum Beispiel die Frage von Professor Schoute beantworten: Er möchte herausfinden, was die unendliche Reihe: 1112+314+5+617+8+9+10 +... für einen Wert liefert. Auch diese Aufgabe sieht einfach aus. Aber in der Unendlichkeit steckt oft mehr, als man sich denken kann – im wahrsten Sinne des Wortes.

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