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Freistetters Formelwelt: Intels teures Primzahl-Problem

Bei mathematischen Konstanten wie der Zahl Pi ist die Relevanz offensichtlich. Manchmal versteckt sich die Bedeutung einer Zahl aber auch – bis sie ein Unternehmen fast eine halbe Milliarde Dollar kostet.
Schaltkreise einer Hauptplatine

Wenn man in der Wissenschaft auf eine Konstante stößt, dann wird es interessant. In der Physik weisen solche universalen und unveränderlichen Zahlen meistens auf eine fundamentale Erkenntnis hin. Als Albert Einstein beispielsweise im Jahr 1905 erkannte, dass sich der Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum niemals ändert, egal wie schnell sich ein Beobachter bewegt, war das der Anstoß zu einer der größten Revolutionen in der Naturwissenschaft. In der Mathematik ist es dagegen nicht immer so einfach, die Bedeutung einer Konstanten zu erkennen.

Betrachten wir zum Beispiel diese Formel:

Formel zur Bestimmung der brunschen Konstante
Brunsche Konstante

Es geht darin um so genannte "Primzahlzwillinge", also Primzahlen, deren Differenz genau 2 beträgt. 3 und 5 bilden so ein Paar, ebenso wie 5 und 7 oder 11 und 13. Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist schon seit der Antike bekannt. Ob es aber auch unendliche viele Primzahlzwillinge gibt, weiß heute immer noch niemand.

Genau hier kommt die obige Formel ins Spiel. Sie betrachtet die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge. Man beginnt die Rechnung mit dem ersten Zwillingspaar 3 und 5 und berechnet die Summe von 1/3 + 1/5. Dazu addiert man die Summe der Kehrwerte des nächsten Paares: 1/5 + 1/7. Es folgt (1/11 + 1/13), danach (1/17 +  1/19), und so weiter. Ob die gesamte Summe unendlich oder endlich viele Additionen nötig macht, ist nicht bekannt. Aber egal, ob unendlich oder endlich viele Primzahlzwillinge: Das Ergebnis ist mit Sicherheit nicht unendlich groß. Die Summe konvergiert gegen einen Grenzwert, der in der Formel mit B2 (die brunsche Konstante) bezeichnet ist.

Dieses überraschende Ergebnis konnte 1919 der norwegische Mathematiker Viggo Brun beweisen. Der exakte Wert von B2 lässt sich zwar nicht berechnen, aber es muss ihn geben, und man kann ihn zumindest schätzen. B2 beträgt ungefähr 1,9021605832, und für diese Berechnung wurden mehr als 19 Billionen bekannte Primzahlzwillinge benutzt.

Schon im 18. Jahrhundert bewies der große Mathematiker Leonhard Euler, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen selbst nicht konvergiert. Wäre das auch bei den Primzahlzwillingen der Fall gewesen, hätte man daraus direkt ableiten können, dass es unendlich viele davon geben muss. Leider kann man aus dem Gegenteil und der Existenz der brunschen Konstante nicht folgern, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Diese Frage bleibt, wie so viele andere, die die Primzahlen betreffen, also weiterhin offen. Immerhin aber führte die Beschäftigung mit der brunschen Konstante im Jahr 1994 in einem ganz anderen Bereich zu einer folgenreichen Entdeckung. Der Mathematikprofessor Thomas Ray Nicely vom Lynchburg College in Virgina wollte damals einen genaueren Wert der brunschen Konstante berechnen. Dazu benutzte er natürlich einen Computer und fand heraus, dass der verwendete Pentiumprozessor von Intel bei ganz bestimmten Divisionen zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Dieser "FDIV-Bug" genannte Hardwarefehler war winzig; das angezeigte Ergebnis wich vom korrekten Wert um weniger als ein Promille ab, und außerdem trat er enorm selten auf. Aber ein Fehler ist ein Fehler, und wenn man dem Computer nicht vertrauen konnte, Rechnungen korrekt auszuführen, dann war das mehr als nur problematisch. Intel erlitt einen Imageschaden und musste ungefähr eine Million fehlerhafte Prozessoren umtauschen.

Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nicht, wissen wir immer noch nicht. In diesem Fall hat die Beschäftigung mit einer sehr abstrakten Frage aber zumindest deutliche Auswirkungen auf unseren Alltag (oder zumindest auf den Alltag der Prozessorenhersteller) gehabt. Die Mathematik wird weiter nach Antworten suchen. Denn es wäre überraschend, wenn sich die Bedeutung der brunschen Konstante nur auf die Überprüfung von Computerhardware beschränken würde.

07/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 07/2018

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