Isaac Newton ist als Erfinder der Gravitationstheorie und der Infinitesimalrechnung bekannt – und darüber hinaus als einer der bedeutendsten Naturwissenschaftler aller Zeiten. Charakterlich war er wohl ein schwieriger Mensch, der jede Menge Feindschaften schloss und sich intensiv mit Alchemie und Theologie beschäftigte.

Newton war nie verheiratet und hat, soweit der Geschichtswissenschaft bekannt, keine Beziehungen intimer Natur zu Frauen (oder Männern) geführt. Umso überraschender ist auf den ersten Blick die Tatsache, dass er 1692 einen intensiven Streit über das Küssen geführt hat.

Auf den zweiten Blick hat die Angelegenheit aber natürlich mit Mathematik zu tun, die man auf diese Weise formulieren kann:

Das dieser Formel zugrunde liegende Problem lässt sich viel einfacher in normaler Sprache erklären: Es geht um die Frage, wie viele Kugeln mit Einheitsradius gleichzeitig eine weitere solche Kugel berühren können, ohne dass sie sich überlappen. Sie berühren sich quasi »küssend«, weswegen die Frage als »Kusszahlproblem« bekannt ist.

Isaac Newton stritt sich damals mit David Gregory, einem Kollegen, mit dem er sonst eigentlich ganz gut auskam (im Gegensatz zu so gut wie allen anderen Forschern, mit denen Newton im Lauf seines Lebens zu tun hatte). Newton verschaffte Gregory 1691 sogar den Posten des Savilian Professor of Astronomie an der University of Oxford. Und Gregory unterstützte Newton im berühmten Prioritätsstreit mit Gottfried Wilhelm Leibniz. Was das Problem der küssenden Kugeln anging, waren sie allerdings unterschiedlicher Meinung.

Um das zu verstehen, kann man die Sache zuerst einmal in weniger als drei Dimensionen betrachten. Eine eindimensionale Einheitskugel ist einfach nur eine Linie der Länge 1. In diesem Fall ist offensichtlich, dass man exakt zwei andere Linien finden kann, die diese Linie berühren. Auch der zweidimensionale Fall ist trivial: Man kann genau sechs Einheitskreise um einen zentralen Kreis anordnen.

In drei Dimensionen ist die Sache dagegen verzwickt. Man kann zwar relativ leicht eine Anordnung finden, in der man zwölf Kugeln so platziert, dass sie alle eine zentrale Kugel berühren. Man legt, vereinfacht gesagt, zwei Ringe aus je fünf Kugeln um die Sphäre in der Mitte und kann dann immer noch je eine weitere oben und unten einfügen. Aber erstens ist dann zwischen den Kugeln noch Platz, und zweitens lässt sich zeigen, dass es weitere passende Anordnungen für zwölf Kugeln gibt. Mehr noch: Man kann durch Verschieben der Kugeln zwischen den Anordnungen wechseln. Das ließ Gregory vermuten, man könnte durch geschicktes Umsortieren vielleicht noch Platz für eine 13. Kugel finden.

12 oder 13: Das ist die Frage

Newton und er kamen auf das Problem, als sie darüber diskutierten, wie viele Planeten um die Sonne kreisen. Das führte sie zunächst zu der Frage, wie viele Kugeln gleicher Größe um eine mittlere Kugel derselben Größe rotieren können, und dann zur Aufgabe, möglichst viele Sphären »küssend« um eine andere zu platzieren. Newton war der Ansicht, es könnten nur 12 sein; Gregory war von 13 Kugeln überzeugt.

Erst 1953 konnten Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden die Frage durch einen exakten Beweis beantworten: Isaac Newton hatte (wieder einmal) recht.

Inzwischen wurde das Problem auch für höhere Dimensionen gelöst. Im vierdimensionalen Raum kann man 24 vierdimensionale Einheitskugeln platzieren und in acht Dimensionen bringt man 240 hochdimensionale Kugeln unter. Und – etwas unerwartet – wir wissen auch, dass man exakt 196 560 24-dimensionale Einheitskugeln küssend um eine weitere 24-dimensionale Kugel anordnen kann.

Für die restlichen Dimensionen gibt es, wenn überhaupt, nur Ober- und Untergrenzen. Es ist bis heute nicht gelungen, eine allgemeine mathematische Formel für das Problem der Kusszahlen zu finden.