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Hidden Figures: Keine Raumfahrt ohne Mathematik

Wie wichtig Zahlen und Formeln sind, wird im erfolgreichen Kinofilm "Hidden Figures" dargestellt. Der Schlüssel findet sich in alter Mathematik, die aber immer noch sehr aktuell ist.
Katherine Johnson

Im Kinofilm "Hidden Figures" wird die Geschichte von drei afroamerikanischen Mathematikerinnen erzählt, deren Arbeit maßgeblich für den Erfolg der Mercury- und Apollo-Missionen der NASA verantwortlich war. In einer Schlüsselszene des Films steht Katherine Johnson mit ihren Kollegen vor einer großen Tafel und denkt über den geplanten Flug von John Glenn nach. Der Astronaut sollte der erste Amerikaner werden, der die Erde in einem Raumschiff umkreist. Damit das auch funktioniert, mussten die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler zuerst die passenden mathematischen Techniken entwickeln, um die komplexen Umlaufbahnen zu beschreiben. Wenn es aber noch keine neue Mathematik gibt, so Johnsons Überlegung im Film, dann klappt es vielleicht mit alter Mathematik – wie dieser:

Explizites Euler-Verfahren
Explizites Euler-Verfahren

Ob die Szene aus dem Film so auch in der Realität stattgefunden hat, ist zweifelhaft. Im Sachbuch "Hidden Figures – Unerkannte Heldinnen" von Margot Lee Shetterly, auf dem der Film basiert, wird sie nicht beschrieben. Es ist allerdings absolut plausibel, dass Johnson und ihre Kolleginnen bei ihrer Arbeit für die NASA obige Formel tatsächlich benutzt haben. Und sie gehört tatsächlich zur "alten Mathematik": Die Formel gibt das "explizite Euler-Verfahren" an, das vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler schon 1768 entwickelt wurde.

Das Euler-Verfahren stellt eines der einfachsten Verfahren zur numerischen Lösung von Differenzialgleichung dar. Der Flug von John Glenn stellte Johnson vor das gleiche Problem, vor dem schon viele Mathematiker standen und heute immer noch stehen: Differenzialgleichungen, also Gleichungen, die nicht nur von bestimmten Variablen, sondern auch von der Änderungsrate dieser Variablen abhängen, können enorm schwer lösbar sein. Es ist oft unmöglich, eine exakte Lösung zu finden, und selbst wenn es möglich ist, ist diese Lösung in der Praxis oft viel zu kompliziert, um vernünftig benutzt werden zu können. Das galt besonders in der Zeit vor der Erfindung schneller Computer, also auch Anfang der 1960er Jahre, als Johnson mit Glenns Flug beschäftigt war.

In so einem Fall benötigt man numerische Lösungsmethoden und damit einen Weg, um wenigstens eine Näherungslösung für die Gleichung zu finden. Das leistet Eulers Verfahren: Anstatt gleich die komplette Lösung zu suchen, beginnt man bei einem Startwert und ersetzt dort die komplizierte Gleichung durch eine Funktion, die eine simple gerade Linie beschreibt. Dieser Linie folgt man ein Stück und sieht nach, welchen Zwischenwert die Lösung dort annehmen würde. Dieser Wert wird als neuer Startwert verwendet, um daraus die neue Richtung zu bestimmen, in der die gerade Linie weisen muss. So tastet man sich Schritt für Schritt (die Anzahl der Schritte wird in der Formel durch den Index k der gesuchten Lösung y beziehungsweise der Zeit t beschrieben) bis zum Ziel. Je kleiner man die Schrittlänge h wählt, desto genauer wird das Ergebnis; desto mehr Zwischenschritte muss man allerdings auch rechnen.

Das Ergebnis wird am Ende nicht absolut exakt stimmen. Aber es ist möglich, die Größe des gemachten Fehlers mathematisch abzuschätzen. Heute werden solche Rechnungen ohne Probleme von Computern durchgeführt, die das in kurzer Zeit erledigen können. Auch die Daten von John Glenns Flug wurden damals schon von einem Computer berechnet. Glenn allerdings war die elektrische Rechenmaschine nicht ganz geheuer – er bat darum, die ganze Rechnung und die Ergebnisse noch einmal von Katherine Johnson überprüfen zu lassen. Erst als die Mathematikerin zum gleichen Resultat kam wie der IBM-Großrechner, war er zufrieden. Diese Szene aus dem Film hat in der Realität übrigens tatsächlich stattgefunden.

Heute läuft es meistens umgekehrt: Erst wenn die Ergebnisse menschlicher Mathematiker von maschinellen Rechenprogrammen überprüft worden sind, vertrauen wir ihnen wirklich. Anders ist es heutzutage auch gar nicht mehr möglich; die nötigen Rechnungen, um all die komplexen Manöver im Weltall zu durchzuführen, könnte kein Mensch mehr nur mit Papier und Bleistift bewältigen. "Alte Mathematik" wie die von Euler sollte man aber trotzdem noch beherrschen. Denn noch muss irgendwer ja dem Computer sagen, wie er zu rechnen hat.

06/2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 06/2017

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