In der Mathematik ist man seit Jahrhunderten auf der Suche nach einem Muster, das die Verteilung der Primzahlen erklärt. Wir möchten gerne vorhersagen können, welche Zahl eine Primzahl ist und welche nicht. Und das, ohne jede einzelne Zahl durchprobieren zu müssen. Das ist bis jetzt nicht gelungen.

Aber es mangelt nicht an anderen spannenden Gleichungen, die auf die eine oder andere Art mit Primzahlen zu tun haben. Das hier ist zum Beispiel die Kempner-Funktion:

Für eine gegebene positive ganze Zahl n wird die kleinste natürliche Zahl s gesucht, für die n ein Teiler von s! ist. Nehmen wir als Beispiel n = 8. Es ist klar, dass 8 kein Teiler von 1! = 1 und 2! = 2 ist; ebenso wenig kann 3! = 6 durch 8 geteilt werden. Das funktioniert erst für 4! = 24, das heißt: S(8) = 4. Es lässt sich einfach erkennen, dass S(n) immer kleiner oder gleich n sein muss. Genauso klar ist, dass S(n) immer dann gleich n ist, wenn n eine Primzahl ist. Es gibt nur eine Ausnahme, nämlich n = 4. Das heißt, für n > 4 gilt immer: Wenn S(n) = n, dann ist n eine Primzahl.

Das macht die Kempner-Funktion leider trotzdem nicht zu einem praktikablen Test für Primzahlen – aber zu einer sehr interessanten mathematischen Gleichung. Man kann damit zum Beispiel charakterisieren, wie früh eine bestimmte Zahl als Teiler in einer Fakultät auftaucht. Für n = 16 ergibt sich zum Beispiel S(16) = 6. Auch bei n = 18 ist S(18) = 6. Für n = 14 muss man aber bis zu 7! gehen. Bei n = 24 findet man den Teiler schon bei 4!. In einem gewissen Sinn ist 14 also eine schwierigere Zahl als 24, weil man eine größere Fakultät benötigt, um sie dort als Teiler zu finden.

Eine vielseitige Funktion

Man kann mit der Kempner-Funktion auch die Primfaktoren einer Zahl charakterisieren. Wenn wir zum Beispiel S(72) bestimmen wollen, suchen wir die kleinste Zahl s, für die s! durch 72 teilbar ist. Wir wissen, dass wir 72 in die Primfaktoren 2³⋅3² zerlegen können. Gesucht ist also die kleinste Fakultät, in deren Kette aus Produkten die benötigten Faktoren (dreimal die 2 und zweimal die 3) enthalten sind. 1! funktioniert offensichtlich nicht und auch 2! enthält nur einmal die 2 als Faktor. Bei 3! = 2⋅3 kommt eine 3 dazu. Mit 4! = 24 = 2³⋅3 sind wir schon fast am Ziel, jetzt fehlt nur noch eine 3, die wir mit 5! = 2³⋅3⋅5 aber noch nicht erhalten, sondern erst mit 6! = 2⁴⋅3²⋅5.

Die Kempner-Funktion beschreibt also gewissermaßen, wie die Primfaktoren einer Zahl in der Folge 1, 2, 3, …, s verteilt sind, beziehungsweise welche Primfaktoren am spätesten erreicht werden. Wenn wir für S(72) das Produkt 6! betrachten, also 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6, dann sind die einzelnen Zahlen alle deutlich kleiner als 72. Aber die Kempner-Funktion sagt, dass die Bausteine, die man braucht, um die Zahl 72 zu berechnen, alle darin enthalten sind. Und dass es keine kürzere Produktkette gibt, die diese Bausteine enthält.

Es gibt noch viele weitere interessante Eigenschaften dieser Funktion. Sie wächst zum Beispiel linear an, wenn man ausschließlich Primzahlen betrachtet. Sonst wächst sie sublogarithmisch.

Und auch der Name der Funktion hat eine interessante Geschichte. Sie wurde nach dem englischen Mathematiker Aubrey John Kempner benannt, der 1918 als Erster einen Algorithmus angegeben hat, mit dem sich die Funktion berechnen lässt. Erstmals beschrieben hat sie der französische Mathematiker Édouard Lucas aber schon im Jahr 1883. Heute wird sie manchmal auch Smarandache-Funktion genannt, nach dem rumänischen Künstler Florentin Smarandache. Er hat sie 1980 selbst noch einmal veröffentlicht, in seiner Arbeit aber die Mathematiker Kempner und Co nicht erwähnt. Dafür hat er darauf hingewiesen, dass die Funktion »Smarandache Funktion« genannt werde. Guter Stil sieht anders aus.