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Die fabelhafte Welt der Mathematik: Wie ein Pirat die Mathematik bis heute prägt

Ein Seefahrer fragte sich vor 400 Jahren, wie sich Kanonenkugeln am platzsparendesten stapeln lassen. Für den Beweis der richtigen Lösung mussten erst Computer erfunden werden.
Pyramidenförmig angeordnete Orangen
Egal, ob Kanonenkugeln oder Orangen: Die Frage wie sich Kugeln am platzsparendsten stapeln lassen, ging als Keplersche Vermutung in die Geschichte ein.

Die Ansichten über Sir Walter Raleigh, der im 16. Jahrhundert die Weltmeere unsicher machte, gehen stark auseinander: War er ein begnadeter Seefahrer und Entdecker oder doch eher ein brutaler Pirat? Bekannt ist Raleigh vor allem dafür, seinen Umhang in eine Matschpfütze gelegt zu haben, damit sich die damalige britische Königin Elizabeth I. nicht die Füße dreckig machte. Ob sich das wirklich so zugetragen hat, ist unbekannt. Gesichert ist hingegen, dass er mit einer simplen Frage viele Jahrhunderte der Mathematik nachhaltig geprägt hat – und Fachleute sich bis heute darüber den Kopf zerbrechen.

Bei seinen Expeditionen war Raleigh gezwungen, Kanonenkugeln mit an Bord zu nehmen, um sich vor feindlichen Übergriffen zu schützen. Dafür wollte er so wenig Platz wie möglich opfern. Deshalb stellte er seinem wissenschaftlichen Berater Thomas Harriot (1560–1621) eine vermeintlich einfache Aufgabe: Er sollte berechnen, wie viel Grundfläche mindestens nötig ist, um eine bestimmte Anzahl von Kanonenkugeln in Pyramidenform zu stapeln. Harriot fand dafür schnell eine griffige Formel und konnte Raleigh eine zufrieden stellende Lösung präsentieren.

Pyramidenzahlen | Die Anzahl an Kugeln, die gestapelt eine Pyramide ergeben, nennt man Pyramidenzahlen.

Doch der wissbegierige Forscher Harriot gab sich nicht einfach nur mit dem Zählen von Kanonenkugeln zufrieden. Er wollte herausfinden, ob das auch wirklich die dichteste Kugelpackung ist. Angenommen, man wolle den dreidimensionalen Raum vollständig mit unendlich vielen Kugeln füllen – wie müsste man sie anordnen, damit sie möglichst wenig Platz beanspruchen?

Das Leben von Sir Walter Raleigh (1552–1618) war überaus ereignisreich: Er stand in der Gunst von Queen Elizabeth I., die ihn 1585 sogar zum Ritter schlug. Als er allerdings ohne Erlaubnis der Majestät eine ihrer Hofdamen heiratete, wurde er für einige Jahre in den Tower of London gesperrt. Nach seiner Entlassung führte er einige Expeditionen nach Südamerika an, wo er (erfolglos) nach dem sagenumwobenen Ort »El Dorado« suchte, der unvorstellbare Goldschätze bergen sollte. Nach dem Tod von Queen Elizabeth wurde er erneut ins Gefängnis geschickt, weil er angeblich Teil einer Verschwörung war, mit dem Ziel, den neuen König James vom Thron zu stürzen. Nachdem er wieder entlassen wurde, setzte er seine Suche nach El Dorado fort. Als seine Seeleute allerdings einen spanischen Außenposten plünderten, musste Raleigh erneut ins Gefängnis und wurde dort hingerichtet.

Harriot konnte keine Antwort darauf finden. Deshalb schrieb er 1606 einen Brief an den Astronomen Johannes Kepler (1571–1630), in dem er von dieser Frage berichtete. Kepler schien das Thema ebenso zu faszinieren, denn fünf Jahre später veröffentlichte er eine These, die als keplersche Vermutung in die Geschichte einging: Demnach ist die dichteste Anordnung von Kugeln jene, die man beim Stapeln von Orangen im Supermarkt (oder von Kanonenkugeln auf Schiffen) beobachtet: Man startet mit einer Kugel in der Mitte und fügt zunächst sechs Exemplare darum herum. Diese Kugeln bilden gewissermaßen ein Sechseck. Dieses Polygon hat den Vorteil, dass man damit die gesamte Ebene lückenlos pflastern kann. Das heißt, man kann das sechseckige Muster auf der ganzen Ebene vervielfältigen. Anschließend bildet man eine zweite Schicht, indem man die Kugeln in die entstandenen Hohlräume setzt, wie bei einem Eierkarton. Die dritte Schicht entspricht wieder der ersten – und so setzt sich die Anordnung fort. Kepler konnte berechnen, wie viel Freiraum durch eine solche Stapelung entsteht: etwa 26 Prozent.

Dichteste Kugelpackung | Kepler vermutete, dass diese Anordnungen von Kugeln die dichteste Packung ergeben.

Ist das das beste Ergebnis, um Kugeln zu schichten? 26 Prozent Leerraum klingt nicht nach einer besonders guten Packung. Tatsächlich lässt sich eine endliche Anzahl von Kugeln deutlich effizienter anordnen: Zum Beispiel ist es platzsparender, fünf Kugeln hintereinander wie eine Art Wurst aufzureihen. Doch das keplersche Problem dreht sich um unendlich viele Kugeln in drei Raumdimensionen. Andere Konfigurationen, die Kepler untersuchte, erzeugten größere Lücken. Ob das sechseckige Muster aber auch wirklich das optimale ist, konnte er nicht belegen. 1773 bewies Joseph Louis Lagrange (1736–1813) den zweidimensionalen Fall: Er konnte zeigen, dass die platzsparendste Anordnung von Kreisen in der Ebene die Sechseck-Konfiguration ist, bei der ein Kreis von sechs anderen umgeben ist. Dadurch erhält man eine Dichte von etwa 90 Prozent, es gibt also nur 10 Prozent Leerraum.

Dichteste Kreispackung | Kreise sind in der Ebene am dichtesten beisammen, wenn man sie entlang eines hexagonalen Gitters anordnet.

Zu beweisen, dass eine bestimmte Anordnung optimal ist, erweist sich als extrem schwierig. Man kann einfach berechnen, wie dicht eine Formation ist. Damit lässt sich relativ schnell überprüfen, ob eine Konfiguration dichter ist als eine andere. Aber zu zeigen, dass es keine Möglichkeit gibt, Kugeln platzsparender zu stapeln, ist eine Mammutaufgabe. Schließlich kann man nicht einfach alle unendlich vielen Anordnungen durchgehen und vergleichen.

Viele Menschen denken, Mathematik sei kompliziert und öde. In dieser Serie möchten wir das widerlegen – und stellen unsere liebsten Gegenbeispiele vor: von schlechtem Wetter über magische Verdopplungen hin zu Steuertricks. Die Artikel könnt ihr hier lesen.

Im Jahr 1831 gelang dem Ausnahmemathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) dennoch ein großer Durchbruch: Er konnte beweisen, dass die keplersche Vermutung korrekt ist, wenn man annimmt, dass die Kugeln nur in regelmäßigen Gittern angeordnet sind. In diesem Fall ist es möglich, die ersten paar Kugeln im Raum zu verteilen und alle anderen nach demselben Muster anzuordnen. Unter all den regelmäßigen Gittern zu prüfen, welches das platzsparendste ist, ist zwar noch immer nicht einfach, aber Gauß konnte die Aufgabe mit den im 19. Jahrhundert zur Verfügung stehenden mathematischen Werkzeugen – Stift und Papier – bewältigen.

Gitter in der Ebene | Beispiele für verschiedene zweidimensionale Gitter.

Ob es allerdings eine chaotische Anordnung gibt, die noch dichter ist, konnte Gauß nicht ausräumen. Diese Möglichkeit macht das Problem ungleich schwieriger, denn in diesem Fall lässt sich jede Kugel an eine beliebige Stelle setzen – und das nicht bloß bei den ersten paar Objekten. Bis zum nächsten nennenswerten Fortschritt sollte mehr als ein Jahrhundert vergehen.

Da es unmöglich ist, unendlich viele Fälle zu prüfen, muss man versuchen, die keplersche Vermutung auf eine Aufgabe herunterzubrechen, bei der nur endlich viele Konfigurationen eine Rolle spielen. 1953 bewies der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth (1915–2005), dass das tatsächlich machbar ist. Die grundlegende Idee ist: Man teilt den dreidimensionalen Raum in unendlich viele Bereiche auf und beweist, dass die keplersche Anordnung in allen Bereichen am dichtesten ist – denn dann ist sie es auch im gesamten Raum.

Dafür nutzte Tóth so genannte Voronoi-Diagramme. Anstatt sich mit unendlich vielen dreidimensionalen Kugeln herumzuschlagen, schlug er vor, nur ihre Mittelpunkte zu betrachten, denn deren Position bestimmt die gesamte Anordnung. Dabei muss man natürlich beachten, dass die Mittelpunkte jeweils einen Mindestabstand von einem Kugeldurchmesser wahren müssen – schließlich dürfen sich die Kugeln ja nicht durchdringen. Damit hat man einen Raum voller willkürlich verteilter Punkte. Hier erweisen sich die Voronoi-Diagramme als nützlich: Man unterteilt diesen Raum in verschiedene Zellen, die jeweils einen Kugelmittelpunkt in ihrem Zentrum bergen. Eine Voronoi-Zelle enthält alle Punkte des Raums, die näher am darin befindlichen Kugelmittelpunkt liegen als an allen anderen.

Voronoi-Zellen
Voronoi-Zellen | Die Entstehung von Voronoi-Zellen.

Tóth vermutete, dass das Volumen der Voronoi-Zellen stets größer ausfällt als das von regelmäßigen Rhomben-Dodekaedern mit Radius eins (einer von fünf platonischen Körpern, der aus zwölf Fünfecken besteht). Das würde der keplerschen Anordnung von Kugeln entsprechen; beweisen konnte Tóth das jedoch nicht. Daher betrachtete er in eine nächsten Schritt nicht nur einzelne Voronoi-Zellen, sondern bis zu dreizehn davon. So formulierte der Mathematiker eine neue Aufgabe: Könnte man zeigen, dass das Volumen der Voronoi-Zellen stets größer ist als das von Rhomben-Dodekaedern, dann ist die keplersche Vermutung wahr.

Statt also unendlich viele Möglichkeiten durchzuspielen und zu überprüfen, ob die dazugehörige Packungsdichte stets niedriger ausfällt als die von Kepler vorgeschlagene, muss man nur endlich viele Fälle abklappern. Das einzige Problem: Die Anzahl der zu prüfenden Anordnungen ist riesig – die Aufgabe übersteigt noch immer alle menschlichen Kapazitäten. Doch schon in den 1950er Jahren erkannte Tóth, dass Computer diese Berechnungen – zumindest irgendwann – würden lösen können.

1992 begann sich der US-amerikanische Geometer Thomas Callister Hales mit dem Problem zu beschäftigen. Zusammen mit seinem Studenten Samuel Ferguson suchte er eine Möglichkeit, die vielen Fälle abzuarbeiten, um mit Tóths Vorarbeit die keplersche Vermutung zu beweisen. Dafür mussten sie mehr als 5000 verschiedene Kugelanordnungen untersuchen und zeigen, dass deren Dichte jeweils niedriger ist als jene von Kepler vorgeschlagene – das führte zu etwa 100 000 Problemen, die ein Computer lösen musste. Die vollständige Umsetzung dauerte vier Jahre.

Kanonenkugeln | Die keplersche Vermutung geht auf die Frage zurück, wie man Kanonenkugeln möglichst platzsparend stapeln kann.

Hales reichte schließlich 1998 den 250-seitigen Beweis inklusive eines drei Gigabyte großen Computerprogramms bei dem prestigeträchtigen Fachjournal »Annals of Mathematics« ein. Die Gutachter brauchten weitere vier Jahre, um den Beweis zu prüfen – mit dem Ergebnis: Sie seien sich zu 99 Prozent sicher, dass die Arbeit korrekt sei. Das genügte zwar, um sie in den Annalen zu veröffentlichen, aber Hales war damit nicht zufrieden. Schließlich bestand ein Restzweifel, dass er etwas falsch gemacht haben könnte oder einen Spezialfall übersehen hatte.

Deswegen rief Hales 2003 das Projekt »FlysPecK« (kurz für: Formal proof of Kepler) ins Leben, um seine Berechnungen von einem computergestützten Beweisassistenten prüfen zu lassen. Dabei handelt es sich um ein Programm, das logische Schlüsse in Argumentationsketten verifiziert. In den letzten Jahren fanden solche Programme immer häufiger Anwendung, um komplizierte mathematische Beweise zu prüfen, bei denen sich Fachleute nicht vollständig sicher sein können, ob sie richtig sind. Die Algorithmen sind ungemein nützlich, allerdings sehr aufwändig zu nutzen. Denn dafür muss man einen Beweis in eine für Computer verständliche Sprache übersetzen. Außerdem muss man dem Rechner alle bereits bekannten Zusammenhänge (Definitionen, bewiesene Sätze, Axiome und so weiter) übermitteln. Das Ganze erweist sich gerade bei aufwändigen Beweisen als Mammutaufgabe.

Es dauerte nochmals 14 Jahre, bis FlysPecK erfolgreich beendet war. Nun konnten Computer Hales' Arbeit vollständig prüfen – und fanden keinen Fehler. Damit kann sich die wissenschaftliche Gemeinschaft nun wirklich sicher sein, dass der Beweis der keplerschen Vermutung (so aufwändig und undurchsichtig er vielleicht sein mag) korrekt ist.

Zwischen Sir Raleighs ursprünglicher Frage und der vollständigen Lösung des Problems sind somit mehr als 400 Jahre vergangen. Doch damit ist das Thema der dichten Kugelpackungen noch lange nicht beigelegt. Es birgt noch viel spannende Mathematik: Betrachtet man die Frage beispielsweise in höheren Dimensionen (was ist die dichteste Anordnung vierdimensionaler Kugeln im vierdimensionalen Raum?) oder Fälle mit endlich vielen Objekten (wie ordnet man etwa 53 Kugeln möglichst platzsparend an?), so sind diese Probleme bis heute offen. Es bleibt zu hoffen, dass deren Beantwortung nicht ganz so viel Zeit erfordert.

​​Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!

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