Direkt zum Inhalt

Freistetters Formelwelt: Kinderleicht?!

Viele mathematische Entdeckungen kann man nur machen oder verstehen, wenn man tief in die komplexen Details der Symbole und Gleichungen eindringt. Manchmal reicht aber auch das, was jedes Kind in der Schule lernt.
Zahlen

Wie die Division von 1 durch 7 durchgeführt wird, hat jeder in der Schule gelernt. Das Einzige, das an diesem Ergebnis auf den ersten Blick bemerkenswert erscheint, ist die Tatsache, dass sich die Nachkommastellen immer wiederholen. Dies wird in der Formel durch den waagrechten Strich angedeutet; man könnte das Ergebnis aber genau so gut als 0,142857142857… aufschreiben.

Bruchrechnung
Bruchrechnung

Dividiert man zwei ganze Zahlen durch einander, erhält man immer ein Ergebnis dieser Form. Entweder das Resultat der Rechnung ist selbst wieder eine ganze Zahl oder aber es bleibt ein Rest, der in der Abfolge der Nachkommastellen dann eine periodisch wiederholte Ziffernfolge erzeugt. Nur irrationale Zahlen (wie die Kreiszahl Pi oder die Wurzel aus 2) zeigen kein Muster hinter dem Komma und sind per Definition auch nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar.

Bis hierher ist an der Division von 1 durch 7 also noch nichts Außergewöhnliches. Das ändert sich, wenn man die Zahl 142 857 ein wenig genauer betrachtet. Denn es handelt sich dabei um eine so genannte zyklische Zahl. So bezeichnet man alle n-stelligen natürlichen Zahlen, bei denen das Produkt mit den Zahlen von 1 bis n die gleichen Ziffern enthält wie die Ausgangszahl. Diese Ziffern dürfen außerdem nicht in irgendeiner beliebigen Reihenfolge auftauchen, sondern müssen zyklisch permutiert sein: Sie dürfen also nur verschoben, aber nicht vermischt sein.

Multipliziert man 142 857 zum Beispiel mit 2, dann lautet das Ergebnis 285 714. Das Produkt mit 3 ergibt 428 571, die Multiplikation mit 4 liefert 571 428 und so weiter. Man kann die Sache aber auch anders betrachten: Das Ergebnis der Division aller ganzen Zahlen zwischen 1 und 6 durch 7 liefert immer die gleichen sich wiederholenden sechs Ziffern hinter dem Komma. Die Abfolge ist dabei ebenfalls immer gleich; auf die 1 folgt immer die 4, auf die 4 immer die 2, und so weiter. Der einzige Unterschied bei den verschiedenen Divisionen ist die Zahl mit der die Periode gestartet wird (2 durch 7 zum Beispiel ergibt 0,285714285714…).

Der amerikanische Mathematiker Leonard Dickson konnte zeigen, dass alle zyklischen Zahlen die Perioden von Zahlen sind, die sich aus dem Kehrwert von Primzahlen bestimmen. Solche Primzahlen nennt man Generatorzahlen, und 7 ist die kleinste davon. Lässt man die trivialen zyklischen Zahlen (die Zahlen von 0 bis 9) beiseite, dann ist 142 857 also die kleinste der zyklischen Zahlen.

Allgemein gilt, dass eine Primzahl p (im Dezimalsystem) genau dann eine Generatorzahl ist, wenn für die natürlichen Zahlen n zwischen 0 und p-1 die Zahl 10n-1 kein Vielfaches von p ist. Außerdem muss 10p-1-1 ein Vielfaches von p sein.

Nach der 7 ist nächste Generatorzahl die 17. Die daraus berechnete zyklische Zahl hat schon 16 Stellen und lautet 0588235294117647. Unter den Primzahlen, die kleiner als 100 sind, gibt es danach noch acht weitere Generatorzahlen: 19, 23, 29, 47, 59, 61 und 97. Bei all diesen – und den folgenden – Generatorzahlen beginnt die daraus resultierende zyklische Zahl allerdings mit einer Null. Wenn man solche führende Nullen bei zyklischen Zahlen nicht erlaubt, dann ist 142 857 tatsächlich die einzige nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem und 7 die einzige Generatorzahl.

Und das ist dann doch ein ziemlich erstaunliches Resultat der simplen Division von 1 durch 7.

28/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 28/2018

Lesermeinung

2 Beiträge anzeigen

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Leserzuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Leserzuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmer sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Lesermeinungen können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnervideos