Ich stöbere immer wieder gerne durch The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). Diese Datenbank enthält genau das, was der Titel verspricht, nämlich Folgen ganzer Zahlen, die auf die eine oder andere Weise interessant sind. Ich finde besonders die Folgen spannend, in denen die Zahlen sehr schnell sehr groß werden.

Das ist bei der Folge mit der Katalognummer A002860 der Fall. Sie beginnt noch recht harmlos mit 1, 2, und 12. Danach kommt aber schon die 576, es geht weiter mit 161 280 und dann folgt 812 851 200. Die nächsten Einträge wachsen noch rasanter. Die Zahlenfolge beschreibt die Anzahl L(n) der lateinischen Quadrate der Ordnung n = 1, 2, 3 und so weiter. Eine explizite Formel für L(n) gibt es allerdings nicht – nur eine (vergleichsweise grobe) Abschätzung:

Um zu verstehen, warum L(n) so schnell so groß werden kann, sollte man wissen, was ein lateinisches Quadrat ist: eine quadratische Anordnung von Symbolen, bei der jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt. Für n = 3 kann man die Symbole A, B und C zum Beispiel so in einem Quadrat anordnen, dass in der ersten Zeile A, B und C steht, in Zeile zwei dagegen C, A und B und in der dritten Zeile der Eintrag B, C und A. Ein gültiges lateinisches Quadrat erhält man aber auch mit den Zeilen B, A, C – A, C, B – C, B, A. Und so weiter – es gibt insgesamt zwölf Möglichkeiten und deswegen ist der Eintrag für L(3) im OEIS auch gleich zwölf.

Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Konzepts aus der Kombinatorik sind offensichtlich und vielfältig und reichen von rein mathematischen Themen, über Spiele (Sudoku) bis hin zu Fehlerkorrektursoftware oder statistischen Auswertungen.

Interessant wird es, wenn man zwei lateinische Quadrate auf einmal betrachtet. Dann kann man sich fragen, was passiert, wenn man sie übereinanderlegt und aus den jeweiligen Einträgen Paare bildet. Man nimmt also die beiden ersten Einträge aus den ersten Spalten der ersten Zeilen, die beiden Werte aus den zweiten Spalten der ersten Zeilen, und so weiter. Bei zwei Quadraten der Ordnung n = 3 gibt es n² = 9 Paare. Wenn sie alle voneinander verschieden sind, nennt man die beiden lateinischen Quadrate »orthogonal« – und das Quadrat mit den kombinierten Einträgen ein »griechisch-lateinisches« Quadrat.

Mit den Gelehrten aus der Antike hat das nichts zu tun, sondern mit dem Mathematiker Leonhard Euler, der diese Objekte erforscht hat. Latein und Griechisch beziehen sich dabei auf das Alphabet, aus dem Euler die Symbole für die Darstellung gewählt hat.

Das Problem der 36 Offiziere

Euler hat auch das Problem der 36 Offiziere berühmt gemacht: Angenommen, es gibt 36 Offiziere, die aus sechs unterschiedlichen Regimentern stammen und einen von sechs unterschiedlichen Dienstgraden besitzen. Kann man sie dann so paarweise in einem 6-mal-6 Quadrat aufstellen, dass in jeder Zeile und Spalte alle sechs Dienstgrade und Regimenter genau einmal auftauchen? Oder, anders formuliert: Gibt es zwei lateinische Quadrate der Ordnung sechs, die orthogonal zueinander sind?

Euler hat damals vermutet, dass das für n = 4k + 2 (wenn k eine positive ganze Zahl ist) nicht gilt. Dass es für n = 6 tatsächlich kein griechisch-lateinisches Quadrat gibt, konnte aber erst 1901 bewiesen werden. 1959 fand man dann sogar Gegenbeispiele für Eulers Vermutung für die Fälle n = 22 und n = 10. 1960 wurde ein Beweis veröffentlicht, der zeigt, dass nur für n = 2 und n = 6 kein griechisch-lateinisches Quadrat existiert.

Die Frage nach einer allgemeinen Formel für L(n) ist allerdings immer noch offen. Die Folge A002860 im OEIS endet bei der elften Ordnung. Der dazugehörige Eintrag ist eine Zahl mit 48 Stellen.