Vor fast exakt zehn Jahren ist an dieser Stelle die erste Formelwelt-Geschichte erschienen. Ich habe mir damals lange Gedanken darüber gemacht, mit welcher mathematischen Formel ich meine Kolumne starten soll. Es wäre naheliegend gewesen, mit einer der Gleichungen zu beginnen, die auch Menschen ohne viel mathematisches Wissen kennen, zum Beispiel mit Einsteins berühmter Formel E = mc² oder dem Satz des Pythagoras. Aber das erschien mir zu einfach; mein Ziel war und ist es ja vor allem, die Mathematik in ihrer Gesamtheit sichtbar und verständlich zu machen. Ich will sie zeigen, wie sie ist – und nicht nur die Highlights herauspicken.

Deswegen habe ich damals mit den Tensoren begonnen, also mit mathematischen Objekten, die einerseits in fast allen mathematischen und naturwissenschaftlichen Disziplinen enorm wichtig sind und andererseits außerhalb der Wissenschaft weitestgehend unbekannt.

In der Jubiläumsausgabe meiner Kolumne möchte ich deswegen ebenfalls ein Konzept aus der Tensorrechnung vorstellen:

Es handelt sich dabei um das »Kronecker-Delta«, eine Art mathematischen Schalter, der prüft, ob zwei Indizes i und j gleich sind. Ist das der Fall, dann liefert es den Wert 1, sonst ist es gleich 0. Tatsächlich ist es aber noch viel mehr als das.

Betrachten wir zum Beispiel zwei Vektoren a und b im normalen, dreidimensionalen Raum. Jeder davon hat dann drei Komponenten, die mit entsprechenden Indizes gekennzeichnet sind: a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃). Das Skalarprodukt der Vektoren lässt sich nach der üblichen Formel bestimmen: a ⋅b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Will man das etwas kompakter aufschreiben, kann man die Summe über den Ausdruck a_iδ_ij b_j bilden. Das Kronecker-Delta sorgt dann dafür, dass nur die Terme berücksichtigt werden, bei denen die Indizes i und j gleich sind.

Tensoren als Matrix

Einen Tensor zweiter Ordnung (das heißt mit zwei Indizes) kann man auch als Matrix aufschreiben. Im Fall des Kronecker-Deltas ergibt das die Einheitsmatrix, in der alle Einträge gleich 0 sind, bis auf die Diagonalelemente, die den Wert 1 haben. Die Einheitsmatrix ist gleichzeitig jedoch der metrische Tensor für den euklidischen Raum, also das mathematische Objekt, mit dem man Abstände und Winkel berechnen kann.

In der Praxis führen wir diese Berechnungen zwar meist ohne Kronecker-Delta durch: Wir verwenden die klassische Formel aus dem Satz des Pythagoras für den Abstand d zwischen zwei Punkten a und b: d² = (a₁ – b₁)² + (a₂ – b₂)² + (a₃ – b₃)². Auf einer tieferen mathematischen Ebene finden wir auch in dieser Formel, so wie beim Skalarprodukt, das Kronecker-Delta. Außerdem taucht es an vielen anderen Orten auf, zum Beispiel in der Quantenphysik, wenn es darum geht, quantenmechanische Zustände miteinander zu vergleichen, und natürlich in der Relativitätstheorie, deren Formeln voll mit Tensoren sind.

Es mag ein wenig übertrieben erscheinen, sich extra ein mathematisches Objekt auszudenken, das am Ende doch nur die Zahlen 0 und 1 darstellen kann. Aber genau das ist es, was die Mathematik ausmacht. Sie ist eine Art von Sprache. Und so wie die natürliche Sprache die Beziehungen zwischen den realen Dingen der Welt beschreibt, macht die mathematische Sprache das mit den Beziehungen zwischen ihren abstrakten Objekten.

In beiden Fällen ist es notwendig, immer wieder neue Wörter zu erfinden, um möglichst genau über das sprechen zu können, was man verstehen will. Das Kronecker-Delta ist ein gutes Symbol dafür: Selbst wenn es bloß 0 und 1 darstellen kann, eröffnet es uns Welten der Erkenntnis, die sonst verschlossen geblieben wären.