Am 1. Oktober 2022 ereignete sich auf den Philippinen ein seltsames Phänomen: 433 Menschen gewannen den Jackpot der dortigen Lotterie, bei der sechs Zahlen von 1 bis 55 zufällig ausgewählt werden. Sie alle hatten sechs von sechs Richtigen. Das erregte sofort internationale Aufmerksamkeit. Vor allem, wenn man sich die sechs gezogenen Zahlen ansieht: 9, 18, 27, 36, 45 und 54; einmal die Neunerreihe durch. Schnell wurden die Anschuldigungen laut: Da konnte es doch nicht mit rechten Dingen zugehen!

Daraufhin erhielten einige Mathematikerinnen und Mathematiker Anfragen: Wie wahrscheinlich ist so eine Ziehung? Man muss aber nicht Mathematik studiert haben, um zu einer Antwort zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau diese Zahlen beim philippinischen Lotto herauskommen, beträgt eins zu 55 über 6, also rund eins zu 29 Millionen. Da die Wahrscheinlichkeit so winzig ist, könnte man dazu neigen, nun wirklich von einem Betrugsfall auszugehen.

Es gibt natürlich ein »Aber«: Jede andere Ziehung hat ebenso eine Wahrscheinlichkeit von rund eins zu 29 Millionen. Das Ergebnis hängt nicht von den exakten Zahlenwerten ab. Es sagt rein gar nichts darüber aus, ob die Lotterie manipuliert wurde oder nicht. Falls man die Möglichkeit eines Betrugs mathematisch untersuchen möchte, muss man schon härtere Geschütze auffahren. Und das hat der renommierte Mathematiker und Fields-Medaillist Terence Tao in seinem Blog für das spezifische Beispiel der philippinischen Lotterie getan.

Anstatt zu fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine solche Ziehung möglich ist, sollte man fragen: Wie wahrscheinlich ist es, dass diese Zahlen in einer manipulierten Lotterie gezogen werden? Wie sich herausstellt, ist es ziemlich schwierig, das zu beantworten – denn das Ergebnis hängt nicht nur von mathematisch berechenbaren Größen ab, sondern erfordert auch verschiedene Annahmen, die nicht unbedingt eine wissenschaftliche Grundlage haben.

Subjektive Statistik

Wer sich mit Statistik auskennt, wird wahrscheinlich merken, dass wir hierbei mit Hypothesen arbeiten müssen – und bestenfalls die Theorie der bayesschen Wahrscheinlichkeit nutzen, um den Lotterie-Fall zu untersuchen. Wer von alldem noch nichts gehört hat: keine Angst! Die Konzepte lassen sich auch ohne Vorwissen recht gut erklären; ich verspreche, ich gebe mein Bestes.

Insgesamt gibt es zwei Hypothesen, einmal die »Nullhypothese«, wonach die Ziehung völlig fair ist. Die alternative Hypothese lautet, dass die Lotterie irgendwie manipuliert wurde. Und hier merken Sie schon die Komplikation: »irgendwie manipuliert« ist sehr schwammig formuliert und kann etliche verschiedene Methoden umfassen. Hierzu eine wissenschaftlich fundierte Aussage zu treffen, wird schwierig. Aber man kann es versuchen.

In der bayesschen Statistik geht man folgendermaßen vor: Zunächst einmal muss man die Wahrscheinlichkeit dafür festlegen, welche der beiden Hypothesen generell (ohne die verdächtige Ziehung) erfüllt ist. Das ist eine extrem subjektive Frage; einige Menschen könnten annehmen, es sei sehr wahrscheinlich, dass die Nullhypothese zutrifft (keine Manipulation), während skeptischere Menschen vielleicht eher davon überzeugt sind, dass die alternative Hypothese erfüllt ist. Welche Wahrscheinlichkeit man den beiden Hypothesen zuordnet, hängt also nur vom persönlichen Empfinden ab und entbehrt einer soliden mathematischen Grundlage.

Mithilfe des bayesschen Satzes lässt sich dann berechnen, wie stark ein Ereignis diese subjektiv festgelegten Wahrscheinlichkeiten verändert. In diesem Fall ist das Ereignis natürlich das auffällige Muster der gezogenen Neunerreihe. Um den Satz von Bayes anzuwenden, braucht man neben den ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten noch zwei weitere Größen: Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis (die Ziehung) unter Annahme der Nullhypothese eintritt? Das haben wir schon eingangs berechnet, die Antwort lautet rund eins zu 29 Millionen. Die zweite Größe, die gebraucht wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis unter Annahme der alternativen Hypothese eintritt. Und jetzt wird es wieder schwierig.

Welche Arten von Betrug gibt es?

Um eine sinnvolle Aussage treffen zu können, müssen wir von einer konkreten alternativen Hypothese ausgehen. Zum Beispiel könnte die Lotterie am 1. Oktober 2022 von korrupten Verantwortlichen manipuliert worden sein, die die Zahlen schon vor der Ziehung festlegten. Falls sie die Zahlen zufällig ausgelost haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, das genannte Ereignis unter der alternativen Hypothese zu finden, eins zu 29 Millionen – schließlich haben die korrupten Personen die Zahlen ja fair ausgelost (nur eben vor der offiziellen Ziehung).

Da die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses sowohl unter der alternativen als auch unter der Nullhypothese gleich groß sind, gleichen sie sich aus. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeiten für die Nullhypothese und die alternative Hypothese bleiben durch die verdächtige Ziehung völlig unverändert.

Bei dieser Betrachtung sind wir davon ausgegangen, dass die korrupten Verantwortlichen mathematisch rational handeln. Es ist aber davon auszugehen, dass, wenn sie eine bestimmte Ziehung manipulieren wollen und die Zahlen vorab zufällig wählen, sie eine so auffällige Folge wie 9, 18, 27, 36, 45 und 54 wohl eher verwerfen würden. Wenn man das einbezieht, schrumpft die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis unter Annahme der alternativen Hypothese – und macht es damit unwahrscheinlicher, dass diese zutrifft.

Eine kaputte Maschine

Aber vielleicht war es ja gar keine gezielte Manipulation der Lotteriezahlen, die das seltsame Ergebnis hervorbrachte. Vielleicht war ja einfach nur die Maschine an diesem Tag defekt – und hat die Zahlen nicht richtig gemischt oder sie aus anderen Gründen in einem auffälligen Muster ausgegeben. Hier wird es sehr schwierig, eine Wahrscheinlichkeit dafür anzugeben, dass das Ereignis unter dieser alternativen Hypothese eintritt.

Man könnte zum Beispiel annehmen, dass jede auffällige Zahlenfolge zwischen 1 und 55 durch den maschinellen Defekt hätte gelost werden können. In diesem Fall beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit eins zu der Menge all dieser auffälligen Zahlenfolgen. Selbst wenn die Wahrscheinlichkeit recht groß ausfällt und es so scheint, als würde die alternative Hypothese dadurch gestützt, wird diese durch die nachfolgende Ziehung am 3. Oktober 2022 quasi widerlegt. Denn an jenem Tag lauteten die Zahlen 8, 10, 12, 14, 26, 51 – eine Folge ohne erkennbares Muster. Wenn man dieses neue Ereignis erneut in die bayessche Statistik einfließen lässt, senkt es die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses unter der alternativen Hypothese auf fast null herab.

Ich könnte weitere alternative Hypothesen durchspielen, aber auch diese liefern kein überzeugendes Ergebnis. Insgesamt nennt Terence Tao folgende drei Eigenschaften, die eine alternative Hypothese erfüllen muss, damit sie aus statistischer Sicht relevant wird:

1. Sie hat schon im Voraus (ohne Betrachtung eines speziellen Ereignisses) eine relevante Wahrscheinlichkeit.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis unter der alternativen Hypothese eintritt, ist merklich größer als unter der Nullhypothese.
3. Auch andere beobachtete Ereignisse können unter der alternativen Hypothese eintreten.

Als Letztes kann man sich fragen, warum so viele Menschen – ganze 433 – auf diese sechs Zahlen gesetzt haben. Dafür gibt es zwei plausible Erklärungen. Zum einen tendieren viele Menschen dazu, Zahlen nach einem bestimmten Muster auszuwählen, und das kann nun mal auch die Neunerreihe sein. Etwas überzeugender ist jedoch ein Argument, das sich ergibt, wenn man den philippinischen Lotterieschein betrachtet. Auf diesem sind die Zahlen 9, 18, 27, 36, 45 und 54 entlang einer Diagonalen angeordnet. Daher kann man davon ausgehen, dass einige Personen die Zahlen einfach nach diesem geometrischen Muster ausgewählt haben.

Wenn Sie also mal über ein auffälliges Muster stolpern, prüfen Sie erst einmal in Ruhe die drei Punkte, die eine alternative Hypothese erfüllen muss.