Wie berechnet man den Wert der Kreiszahl π? Eigentlich ist es klar: Man dividiert den Umfang des Kreises durch seinen Durchmesser. Es geht aber auch anders. Man kann ein Quadrat um den Einheitskreis herum zeichnen und per Zufall Punkte darin auswählen. Manche liegen dann innerhalb des Kreises und manche nicht. Das Verhältnis der Punkte im Kreis zur Gesamtzahl der Punkte entspricht dabei näherungsweise der Zahl π. Ein Verfahren dieser Art, bei dem zufällige Ereignisse zur Berechnung eines Werts benutzt werden, heißt Monte-Carlo-Simulation. Und damit lässt sich noch viel mehr machen, als Pi zu bestimmen. Dazu muss man den Zufall aber in Regeln fassen, zum Beispiel durch diese Formel:

Das ist die Akzeptanzwahrscheinlichkeit im Metropolis-Algorithmus: dem ersten und einfachsten Algorithmus aus der Klasse der MCMC-Methoden (Markow-Chain-Monte-Carlo). Die Idee dahinter ist folgende: Angenommen, wir haben irgendein mathematisches Modell, zum Beispiel eines aus der Klimaforschung, das vorhersagt, wie sich die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von bestimmten Parametern verändert (Wärmeaufnahmefähigkeit der Ozeane, Klimasensitivität, …). Außerdem gibt es diverse Messdaten für die Temperatur aus der Vergangenheit, und wir wollen nun wissen: Welche Parameter des Klimamodells sind mit diesen Daten vereinbar? Und wie wahrscheinlich sind diese Werte angesichts der Daten? Das heißt, wir suchen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Modellparameter unter der Voraussetzung der Messwerte.

So eine vollständige Verteilung lässt sich mathematisch meist nicht exakt bestimmen, so wie der Wert der Kreiszahl π. Aber wie im anfänglichen Beispiel kann man auch hier per Zufall sehr viele Werte für die Parameter wählen und dann schauen, wie gut so ein Modell zu den Daten passt. Das ist allerdings sehr ineffizient und erfordert extrem viel Rechenaufwand.

Manchmal muss man bergab gehen, um an den Gipfel zu kommen

Hier kommt das zweite »MC« der Methode ins Spiel, das »Markow-Chain«. Man startet mit irgendeiner Kombination der Modellparameter und berechnet, wie gut das Klimamodell damit zu den Messdaten passt. Dann werden die Parameter leicht verändert und man vergleicht, ob das Modell die Daten nun besser beschreibt oder nicht. Genau hier wird jetzt die Formel für die Akzeptanzwahrscheinlichkeit relevant: Sie sagt, wann eine Veränderung akzeptiert wird und wann nicht. Ist das Modell mit den neuen Daten besser als das alte, dann ist das der Fall.

Aber die Wahrscheinlichkeit der Akzeptanz wird niemals null, auch wenn die neuen Parameter nicht so gut passen wie die alten. Das klingt nach einem Fehler, hat aber einen wichtigen Zweck. Man kann sich die Auswahl der Parameter als Spaziergang durch eine Landschaft voller Berge und Täler vorstellen. Auf den Bergen passt das Modell gut, in den Tälern eher nicht. Wir wollen uns also vor allem auf den Gipfeln aufhalten. Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit ist so ausgelegt, dass sie uns nach oben führt. Wir möchten jedoch die gesamte Landschaft verstehen und müssen irgendwann auch wieder nach unten kommen, um anderswo erneut nach oben gehen zu können. Deswegen müssen wir ab und zu Verschlechterungen akzeptieren.

Bei diesem Verfahren hängt der jeweils nächste Schritt (also die neuen Werte der Parameter) nur vom aktuellen Schritt ab. So etwas nennt man in der Mathematik eine »Markow-Kette«. Und genau diese Kette ist es, die – wenn sie lang genug ist – die Wahrscheinlichkeitsverteilung widerspiegelt, die wir suchen. Aus ihr können wir dann alle nötigen statistischen Parameter bestimmen, auch ohne die Verteilung vollständig exakt berechnen zu können. Wer lang genug zufällig durch die Landschaft irrt, kennt sich am Ende darin eben doch ganz gut aus.