Ist das Nichts etwas, über das man sinnvoll nachdenken kann? Die Tatsache, dass ich das Nichts im vorangegangenen Satz als »etwas« bezeichnet habe, stellt das infrage. Denn etwas kann ja nicht nichts sein, und sobald man über etwas nachdenkt, ist es kein Nichts mehr.

Diese gedankliche und sprachliche Verwirrung hat die Philosophie seit Jahrtausenden beschäftigt. Und auch die Mathematik musste sich damit auseinandersetzen. Solange das Fach nur dazu diente, reale Dinge zu zählen und zu berechnen, spielte das Nichts keine Rolle. Die Zahl 0 ist erst relativ spät als Lückenzeichen in Stellenwertsystemen aufgetaucht. Aber als die Mathematik sich in immer abstraktere Sphären vorwagte, musste man sich auch mit dem Nichts beschäftigen. Diese Formel ist ein Beispiel dafür:

Sie beschreibt das, was man als die leere Menge bezeichnet. In normale Sprache übersetzt bedeutet der Ausdruck: Es existiert eine Menge M, sodass für alle X gilt: X ist kein Element von M. Oder, etwas anders ausgedrückt: Es gibt eine Menge, die kein einziges Element enthält. Das ist die leere Menge, die entweder durch das Symbol ∅ oder durch zwei Klammern {} dargestellt wird. Und damit wird klar, dass auch die Mathematik ihre Probleme mit dem Nichts hat. Denn die leere Menge ist nicht nichts, sie ist nur eine Menge, die nichts enthält. Die Darstellung durch die beiden Mengenklammern ohne Inhalt macht das mehr als deutlich.

Man darf die leere Menge auch nicht mit einer »Nullmenge« verwechseln. Die leere Menge enthält nichts und hat daher eine Mächtigkeit von 0 und sie ist die einzige Menge, für die das gilt. Es kann nur eine leere Menge geben, denn zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Nullmengen hingegen gibt es noch und nöcher. Manche davon können sogar unendlich viele Elemente enthalten. Salopp gesagt ist eine Nullmenge eine Menge, in der zwar Elemente drin sind, die man aber vernachlässigen kann.

Etwas exakter meint man damit Mengen, die ein Maß von 0 haben. Als Beispiel kann man sich die natürlichen Zahlen {1, 2, 3, 4, …} als Punkte entlang der Zahlengeraden vorstellen. Ein Punkt hat per Definition keine Ausdehnung, also eine Länge von 0. Nimmt man alle Punkte auf der Zahlengeraden zusammen, dann ist die Gesamtlänge immer noch gleich 0, selbst wenn es unendlich viele sind. Das gilt für abzählbare Mengen; erst wenn man es mit überabzählbar unendlich vielen Elementen zu tun hat, wie bei den reellen Zahlen, kann sich das ändern. Die leere Menge ist natürlich auch eine Nullmenge – aber jede andere Nullmenge ist nicht leer.

Mit dem Nichts alles definieren

Das Nichts und die Unendlichkeit sind verwirrend. Unendlich viele Zahlen einer Menge können quasi nichts sein, wenn man sie auf die richtige Weise misst. Und trotzdem sind sie nicht nichts. Nur die leere Menge selbst enthält tatsächlich nichts, ist aber dennoch überall.

In der Mengenlehre ist sie zum Beispiel der Ausgangspunkt aller Zahlen. Die leere Menge ist die Grundlage für die Definition der Zahl 0, denn sie enthält keine Elemente. Was aber ist zum Beispiel mit der Menge {{}}, die nur die leere Menge enthält? Entgegen der intuitiven Vorstellung ist das etwas anderes als nichts, denn die leere Menge selbst ist ja etwas. Diese Menge enthält also ein Element und man kann sie verwenden, um die Zahl 1 zu definieren. Die Menge {{},{{}}} enthält die vorhin beschriebene Menge und die leere Menge, also zwei Elemente, und kann mit der Zahl 2 gleichgesetzt werden. Und so weiter.

Aus dem Nichts lassen sich so die natürlichen und damit alle anderen Zahlen konstruieren (diese Idee geht auf den amerikanischen Mathematiker John von Neumann zurück, man kann die Zahlen natürlich auch anders konstruieren, zum Beispiel durch die Peano-Axiome). Das mathematische Nichts ist also kein philosophisches Vakuum, sondern ein Fundament, auf dem eine ganze Welt der Erkenntnis ruht.