Vor einigen Wochen habe ich in dieser Kolumne drei der spannendsten Primzahlen vorgestellt: jene Zahlen, die sozusagen die Grundbausteine der Zahlen bilden und nur durch eins und sich selbst teilbar sind. Ich entschied mich für die »Sheldon-Primzahl« 73, das Social-Media-Phänomen 67 und die »Belphegor-Primzahl«. Das war natürlich eine äußerst subjektive Auswahl.

Selbst wenn man sich auf Primzahlen beschränkt, die aus maximal vier Ziffern bestehen, ist die Auswahl so groß, dass ich kaum den Überblick behalten kann (schon allein davon gibt es 1229 – diese Zahl ist übrigens selbst eine Primzahl). Und wer bin ich schon, mir ein Urteil darüber anzumaßen, welche Zahlen am interessantesten sind? Zumal es in der Regel zu fast jeder Zahl etwas Spannendes zu erzählen gibt.

Deshalb habe ich mich an Sie gewandt, meine treuen Leserinnen und Leser. Und ich habe mich sehr gefreut, als ich in meinem Postfach etliche Beispiele für außergewöhnliche Primzahlen gefunden habe. Deshalb habe ich mich entschlossen, einer Auswahl davon eine Bühne zu bieten – und sie hier vorzustellen. 

357 686 312 646 216 567 629 137

Mit dieser 24-stelligen Primzahl hat mich Helmut Mertes bekannt gemacht. Sie ist nicht nur ziemlich groß, sondern auch ein beeindruckendes Beispiel für eine »trunkierbare« Primzahl. Das bedeutet: Nimmt man nacheinander die vorderste Ziffer weg, dann ist die resultierende Zahl immer noch nur durch eins und sich selbst teilbar. Sie bietet also den Ausgangspunkt für eine Folge von 24 Primzahlen.

Um ganz genau zu sein, handelt es sich hierbei um eine »linkstrunkierbare« Primzahl, da man nur die vordersten Ziffern entfernen darf. 357 686 312 646 216 567 629 137 ist die 4260. und größte linkstrunkierbare Primzahl.

Dass es keine weiteren Primzahlen dieser Art gibt, lässt sich recht einfach beweisen: Die nächstgrößere linkstrunkierbare Primzahl müsste 25 Stellen haben, wobei deren vorderste Ziffer zwischen 1 und 9 liegt, gefolgt von einer 24-stelligen Primzahl, die wiederum linkstrunkierbar ist. Da es keine 25-stellige Primzahl dieser Art gibt, ist 357 686 312 646 216 567 629 137 die letzte – und größte – linkstrunkierbare Primzahl.

Darüber hinaus gibt es auch »rechtstrunkierbare« Primzahlen, bei denen man die letzten Ziffern nach und nach entfernt und weiterhin eine Primzahl erhält. Von diesen Zahlen gibt es nur 83 Stück, die größte ist 73 939 133.

Der Beweis verläuft analog wie im linkstrunkierbaren Fall: Man untersucht, ob es eine neunstellige Primzahl gibt, die mit den Ziffern einer achtstelligen rechtstrunkierbaren Zahl beginnt, gefolgt von einer Ziffer zwischen 0 und 9. Da keine derartige Primzahl existiert, gibt es keine weiteren rechtstrunkierbaren Primzahlen.

Besondere Palindrome

Ich finde Primzahlpalindrome extrem schön: Sie werden von rechts wie von links gelesen. In meiner vergangenen Primzahl-Kolumne hatte ich die Belphegor-Primzahl 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001 vorgestellt, auch ein Palindrom, welches das Symbol des Bösen verkörpern soll (wegen der 666 in der Mitte, die von je 13 Nullen umgeben ist). Bisher ist nicht klar, ob es unendlich viele palindromische Primzahlen gibt. Das größte bisher gefundene Beispiel ist 10^2 718 281 – 5 · 10^1 631 138 – 5 · 10^1 087 142 – 1 und hat knapp 3 Millionen Ziffern.

Doch es gibt auch über die genannten Beispiele hinaus noch durchaus beeindruckende Primzahlpalindrome, wie mir ein Leser mitteilte. Etwa die 313. Denn sie sei die einzige Primzahl zwischen zehn und zehn Millionen, die sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem ein Palindrom bilde.

Heutzutage ist es üblich, Zahlen im Dezimalsystem auszudrücken (Ausnahme sind vielleicht besonders eifrige Informatiker). Das bedeutet, dass man die Ziffern von Zahlen wie 313 nacheinander als »Hunderter«, »Zehner« und »Einer« versteht, sprich: 313 = 3⋅10² + 1⋅10¹ + 3⋅10⁰.

Tatsächlich hindert uns aber nichts daran, eine Zahl durch andere Potenzen statt Zehnerpotenzen auszudrücken. In binärer Schreibweise nutzt man zum Beispiel Zweierpotenzen: In diesem Fall entspricht die 313 der Binärzahl 100 111 001 = 2⁸ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2⁰, die auch ein Palindrom bildet.

Ich habe die Aussage des Lesers geprüft und dabei gemerkt, dass er sogar untertrieben hat: Die nächstgrößere Palindromprimzahl in Dezimal- und Binärschreibweise ist 7 284 717 174 827, also eine 13-stellige Dezimalzahl. In Binärschreibweise lautet sie: 1 101 010 000 000 011 010 111 110 101 100 000 000 101 011. Damit ist 313 die einzige Primzahl mit palindromischer Darstellung im Binär- und Dezimalsystem zwischen zehn und zehn Billionen.

37 und 73

Diese beiden Primzahlen sind gewissermaßen die Klassiker unter den unteilbaren Zahleneinheiten. Wie eingangs erwähnt, hatte ich in meiner Kolumne bereits die 73 gewählt, wegen ihrer besonderen Rolle in der Nerd-Sitcom »The Big Bang Theory«. Die 37 als Spiegelzahl der 73 taucht in unzähligen Zusammenhängen wie dem »Sekretärinnenproblem« auf (ich finde, in der heutigen Zeit bräuchte es einen weniger klischeebehafteten Namen).

Ich habe mich dazu entschlossen, die beiden Primzahlen erneut in meine Auflistung aufzunehmen, weil mich Wolfgang Steinicke auf eine extrem spannende Eigenschaft aufmerksam gemacht hat, die ich noch nicht kannte. Und zwar spielen die 37 und 73 eine wichtige Rolle im zahlentheoretischen »waringschen Problem«, das der englische Mathematiker Edward Waring im Jahr 1770 formulierte. Dabei geht es um die Frage, wie man natürliche Zahlen durch die Summe von Potenzen einer bestimmten Zahl ausdrücken kann.

So konnte der chinesische Mathematiker Chen Jingrun im Jahr 1964 beweisen, dass sich jede natürliche Zahl durch eine Summe aus 37 fünften Potenzen bilden lässt. Das bedeutet, dass es für jede natürliche Zahl n eine Formel dieser Art gibt:

wobei a₁ bis a₃₇ ebenfalls natürliche Zahlen sind.

Beim waringschen Problem spielt aber auch die 73 eine Rolle. Der indische Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai bewies bereits 1940, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von 73 sechsten Potenzen darstellen lässt. Das bedeutet: Jede Zahl kann durch höchstens 73 Summanden der Form x⁶ gebildet werden.

Ich hoffe, dass Ihnen die hier vorgestellten Beispiele neue Einblicke in die facettenreiche Welt der Primzahlen geliefert haben. Ich habe für meinen Teil viel durch die Leserbriefe gelernt. Und vielleicht können auch Sie nach der Lektüre des Artikels Ihre Favoritenliste um neue Primzahlen erweitern. Nochmals vielen lieben Dank für die tollen Anregungen! Ich freue mich stets über Ihre Zuschriften und über Themenideen oder skurrile Mathe-Facts.