Ich bin kein großer Fan von Brett-, Karten-, oder Glücksspielen. Wenn ich trotzdem dazu genötigt werde, ist es mir meistens auch egal, ob ich gewinne oder nicht. Die Mathematik der Spiele finde ich dagegen sehr spannend, und hier kann man unter Umständen auch dann gewinnen, wenn man ständig verliert.

Betrachten wir dazu zuerst das – zugegebenermaßen – sehr simple Spiel des Münzwurfes. Die Chance auf einen Gewinn liegt bei P_g = ½ – ϵ und die Verlustwahrscheinlichkeit bei P_v = ½ + ϵ (wir machen die Sache ein wenig spannender, indem wir den Parameter ϵ einführen und eine etwas unfaire Münze verwenden, die nicht mit jeweils 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit auf Kopf oder Zahl landet). Dieses Spiel ist weder zur Unterhaltung noch aus mathematischer Sicht sonderlich unterhaltsam.

Das ändert sich aber, wenn wir ein zweites Spiel mit folgenden Wahrscheinlichkeiten für Gewinn und Verlust definieren:

Mit K ist das verfügbare Kapital gemeint, und die Gleichungen sagen uns, dass die Wahrscheinlichkeiten für Sieg oder Niederlage davon abhängen, wie viel wir davon zur Verfügung haben (in diesem speziellen Fall kommt es darauf an, ob es ein Vielfaches von drei ist oder nicht). Betrachtet man jedes der beiden Spiele einzeln, macht man auf lange Sicht auf jeden Fall Verlust (sofern ϵ richtig gewählt wird).

Werden beide Spiele aber abwechselnd gespielt und in der richtigen Reihenfolge, kann man am Ende mehr Kapital haben als zu Beginn. Das erste Spiel verändert den Wert des Kapitels, und wenn das so passiert, dass dadurch die günstigen Zustände im zweiten Spiel häufiger auftreten, kann man langfristig mit Gewinn aussteigen.

Die Tatsache, dass die Kombination zweier Verluststrategien am Ende gewinnbringend sein kann, wird »Parrondo-Paradoxon« genannt. Der spanische Physiker Juan Manuel Rodriguez Parrondo hat aber keine Spiele im Sinn gehabt, als er sich die Sache in den 1990er-Jahren ausgedacht hat. Er wollte die »Molekulare Ratsche« anschaulich erklären. Dabei handelt es sich um eine fiktive Nanomaschine, die scheinbar aus dem Nichts Bewegung erzeugen kann.

Ein Verstoß gegen die Thermodynamik

Sie besteht aus einem winzigen Flügelrad, das über eine Achse mit einer Ratsche verbunden ist, die von einem Sperrzahn gehalten werden kann. Die Maschine ist so klein, dass sie von der brownschen Bewegung beeinflusst wird, also der zufälligen Bewegung von Molekülen. Stoßen die Teilchen auf die eine Seite des Flügelrades, kann es sich drehen; wenn sie aber die andere Seite treffen, verhindert der Sperrzahn eine Bewegung der Ratsche. Das Resultat: Das Rad dreht sich und das chaotische Wuseln der Moleküle wurde in eine gerichtete Bewegung umgewandelt.

Das sollte laut dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aber unmöglich sein – und das ist es auch. Eine genaue Analyse zeigt, dass auch der Sperrzahn von der brownschen Bewegung beeinflusst und ausgelenkt wird, sodass sich die Ratsche mal hin- und mal herbewegt, im Mittel aber stillsteht. Um das Phänomen zu veranschaulichen, hat Parrondo die zufällige Bewegung der Teilchen mit den zufälligen Münzen gleichgesetzt und den langfristigen Gewinn trotz verlustreicher Spiele mit der aus dem Chaos erwachsenen gerichteten Bewegung.

Für echte Spiele, wie man sie zum Beispiel im Casino findet, gilt das Parrondo-Paradoxon leider nicht. Aber es kann in anderen Bereichen interessant sein, zum Beispiel im Sport, wo bei manchen Wettkämpfen ein Wechsel zwischen verschiedenen Strategien erfolgreich ist. In der Finanzmathematik taucht das Parrondo-Paradoxon ebenfalls auf, wenn man versucht, durch die Kombination von verlustreichen Investitionen doch noch Gewinn zu machen. Es spielt eine Rolle in der Biologie, beim Verständnis von Evolutionsmodellen und so weiter. Mir persönlich reicht aber die Erkenntnis, dass man nicht immer gewinnen muss, um am Ende als Sieger dazustehen.