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Freistetters Formelwelt: Pi und die Experimentalmathematik

Mathematik braucht keine Labore, Teleskope oder Beschleuniger, sondern allein die formal korrekte Manipulation ihrer Symbole. Manchmal aber lohnt sich auch ein kleines Experiment.
Ein Haufen Nadeln

1733 stellte der französische Naturforscher Georges-Louis Leclerc de Buffon vor der Pariser Akademie der Wissenschaften eine zwar ungewöhnliche, aber trotzdem mathematische Frage: Angenommen, man betrachtet einen Fußboden, der aus parallelen, gleich breiten Holzplanken besteht. Wirft man nun eine Nadel zufällig irgendwo auf diesen Boden: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel über einer der Ritzen zwischen den Planken zu liegen kommt?

Der Hintergrund war ein ähnlich aufgebautes Glücksspiel der damaligen Zeit, bei dem man Münzen warf und wettete, ob sie eine der Ritzen berührten oder nicht. Bei der Beschäftigung mit der mathematischen Lösung der Frage stieß Buffon auf diese interessante Formel:

Wie man mit Nadelwürfen die Zahl π bestimmt

Hat man Nadeln der Länge l, die kleiner als der Abstand d zwischen den Ritzen sein müssen, dann kann man eine bestimmte Anzahl an Nadeln NA auf den Boden werfen und zählen, wie viele davon eine der Trennlinien berühren (NC). Setzt man die so erhaltenen Werte in die Formel ein, ist das Ergebnis eine Annäherung an die berühmte Naturkonstante und Kreiszahl π.

Je mehr Würfe man durchführt, desto genauer wird die Approximation, und im Grenzfall unendlich vieler Würfe gibt die Formel die Kreiszahl π exakt wieder. Das Ergebnis ist überraschend, denn auf den ersten Blick scheinen zufällig am Boden verteilte Nadeln wenig mit der ursprünglichen Definition von π, also mit dem Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises, zu tun zu haben. Anschaulicher wird das Auftauchen von π, wenn man bedenkt, dass ja der Winkel eine Rolle spielt, den die gefallene Nadel mit der Linie am Boden einnimmt. Bei der mathematischen Berücksichtigung aller möglichen Winkel stößt man dann schnell auf die Kreiszahl.

Mit der Formel ist es also möglich, den Wert von π experimentell zu bestimmen. Und tatsächlich hat man das auch getan. 1850 warf der Schweizer Astronom Rudolf Wolf 5000 Nadeln und erhielt dabei einen Wert für π von 3,1596. Keine sonderlich gute Annäherung also, da nur eine Nachkommastelle korrekt ist. Bei Buffons Nadelmethode handelt es sich zwar um eine funktionierende Methode zur Bestimmung der Kreiszahl, die aber auch enorm unpraktisch ist. Man müsste Unmengen an Nadeln werfen, um auch nur ein paar brauchbare Nachkommastellen zu gewinnen.

Deswegen benutzen die Mathematiker zur numerischen Berechnung von π auch andere Methoden, für die kein Experimentieren notwendig ist. Ohne Nutzen waren Buffons Überlegungen aber dennoch nicht. Das, was in der echten Welt praktisch unmöglich ist, kann heute mit Computern problemlos simuliert werden. Hunderttausende oder Millionen Nadeln können dort in kürzester Zeit virtuell geworfen und ausgewertet werden.

Trotzdem verwendet man auch in heutiger Zeit lieber andere Methoden zur Bestimmung von π als die von Buffon. Seine Überlegungen zur zufälligen Verteilung von Nadeln führten im 20. Jahrhundert allerdings zur Entwicklung der so genannten Monte-Carlo-Simulationen. Viele Gleichungen können nicht oder nur sehr schwierig exakt gelöst werden. Stattdessen kann man aber numerische Methoden und die Wahrscheinlichkeitsrechnung nutzen, um aus einer großen Zahl an Zufallsexperimenten eine Lösung zu konstruieren, so wie es bei Buffons Nadeln und der Zahl π der Fall ist.

Monte-Carlo-Simulationen werden heute verwendet, um Wetter- und Klimamodelle zu berechnen oder andere komplexe Prozesse nachzubilden, die sich mathematisch nicht direkt analysieren lassen. Astronomen benutzen sie ebenso wie Mediziner oder Finanzmarktanalysten. Und natürlich verwenden auch Mathematiker die Monte-Carlo-Methode. Auf das Werfen von Nadeln verzichten sie dabei aber meistens.

35/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 35/2018

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