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Freistetters Formelwelt: Spielerische Mathematik

Manche mathematischen Fragestellungen klingen nach reinem Vergnügen - aber nur auf den ersten Blick. Bei genauerer Betrachtung steckt fast immer mehr dahinter.
Obstbäume im Rapsfeld

Stellen Sie sich vor, Sie wollen einen Garten mit zehn Apfelbäume anlegen. Können Sie die Bäume so anordnen, dass Sie zwölf gerade Linien durch den Garten ziehen können, die jeweils genau drei Bäume schneiden? Vermutlich haben Sie sich diese Frage noch nie gestellt – die Antwort darauf lautet aber trotzdem: Ja!

Bei der Frage handelt es sich um das so genannte Obstgarten-Problem, und der britische Mathematiker James Joseph Sylvester fand im 19. Jahrhundert eine mathematische Formel dafür:

Sylvester-Gleichung
Sylvester-Gleichung

Mit n wird hier die Anzahl der Bäume bezeichnet, und r ist die Anzahl der geraden Linien, die genau drei Bäume schneiden. Die konkrete Anordnung der Bäume, die sicherstellt, dass auch wirklich zwölf entsprechende Sichtlinien erreicht werden, ist dabei nicht offensichtlich und auch nicht komplett symmetrisch. Aber dank Sylvesters Formel wissen wir, dass sie existiert. Seine Formel lässt sich natürlich auch für Linien mit mehr als drei Bäumen verallgemeinern. Und sie hängt mit dem Satz von Sylvester-Gallai zusammen.

Dieser etwas überraschende mathematische Zusammenhang wurde 1893 von Sylvester (der übrigens auch den mathematischen Begriff der "Matrix" geprägt hat) formuliert: Hat man eine vorgegebene Menge an Punkten, die alle in einer Ebene liegen, dann existiert entweder eine Linie, die durch exakt zwei von diesen Punkten verläuft. Oder aber alle Punkte sind entlang einer Linie angeordnet. Wie so oft in der Mathematik lässt sich das Problem leicht formulieren und verstehen, aber viel schwerer formal beweisen. Erst 1944 gelang das dem ungarischen Mathematiker Tibor Gallai, nachdem sich zuvor sein berühmter Landsmann Paul Erdös damit beschäftigt hatte.

Als Laie mag man ein wenig verwundert sein, warum sich Mathematiker mit solchen scheinbar unbedeutenden Spielereien beschäftigen. Wer braucht denn schon wirklich Obstgärten mit diesen speziellen Anordnungen? Aber bei Aussagen wie dem Satz von Sylvester-Gallai geht es nicht um die praktische Anwendung in der echten Welt. Der Mathematiker Joseph Malkevitch hat die Situation treffend zusammengefasst, als er den Satz so beschrieb: "Manche leicht zu formulierende Probleme in der Mathematik stechen trotz ihrer Schlichtheit heraus, weil sie nicht leicht zu lösen sind. Ein fruchtbares Problem kann jede Menge neue Ideen hervorbringen, die bis heute untersucht werden."

Und genau so war es auch beim Satz von Sylvester-Gallai. Seine Verallgemeinerungen spielen heute in der projektiven Geometrie und vielen anderen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle. Hier zeigt sich etwas, das ich persönlich besonders faszinierend an der Mathematik finde. Im Gegensatz zu den meisten anderen Wissenschaften ist sie mehr oder weniger unerschöpflich. Sylvester selbst hat das hervorragend zusammengefasst: "Die Mathematik ist kein Buch, das von Buchdeckeln begrenzt wird. Sie ist kein Bergwerk, deren Schätze nur eine endliche Anzahl von Adern füllen. Sie ist ohne Grenze. Ihre Möglichkeiten sind so unendlich wie die Welten, die sich im Blick der Astronomen drängen und sich unter ihrem Blick vervielfältigen."

Als Astronom kann ich dieser poetischen Beschreibung der Mathematik natürlich nur voll und ganz zustimmen. Ob das Universum und seine Welten unendlich sind, wissen wir noch nicht. Wir wissen auch nicht, ob es irgendwann einmal keine neuen mathematischen Erkenntnisse mehr gibt und wir alle logisch denkbaren Zusammenhänge entdeckt haben werden. Aber so wie die Größe des Universums diese Frage irrelevant erscheinen lässt, legt auch die Komplexität der Mathematik nahe, dass wir noch für sehr lange Zeit neue Probleme finden und uns auf die Suche nach den korrekten Lösungen machen können.

47/2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 47/2017

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