Das obige Bild ist einer der besten Mathematikwitze, die ich bis jetzt gesehen habe. Für Laien ist er vielleicht nicht sofort verständlich, er spielt aber darauf an, dass in der Topologie ein Donut und eine Tasse identisch sind. Gesehen habe ich das Bild auf dem Internationalen Mathematikerkongress, der im Juli 2026 in Philadelphia stattgefunden hat. Es ist die weltweit größte Mathematikkonferenz, die nur alle vier Jahre stattfindet – und bei der auch die prestigeträchtigen Fields-Medaillen vergeben werden, eine der höchsten Auszeichnungen des Fachs.

Ich konnte es mir nicht verkneifen, das Bild auf Social Media hochzuladen und zu erklären: Zwei Objekte gelten in der Topologie als gleich, wenn man sie ineinander verformen kann, ohne sie zu zerreißen oder zusammenzukleben. Das heißt insbesondere, dass Figuren währenddessen ihre Anzahl an Löchern beibehalten. Demnach sind Objekte mit der gleichen Anzahl an Löchern identisch. In der Topologie kann man also ein Brötchen nicht von einer Laugenstange unterscheiden (beide haben kein Loch) – oder eben einen Donut von einer Tasse (beide haben exakt ein Loch). In der realen Welt sollte man diese Übereinstimmung aber vielleicht nicht allzu ernst nehmen, wie das Bild verdeutlicht.

Schnell entstand unter dem Social-Media-Post eine Diskussion darüber, zu welcher topologischen Kategorie wohl Menschen gehören. Sind sie ein Donut, eine Brezel (mit drei Löchern) – oder eher ein Schweizer Käse? Wie sich herausstellt, ist die Frage gar nicht so einfach zu beantworten. 

Mereotopologie des Körpers

Die erste Schwierigkeit besteht darin, den Aufbau des Körpers genau zu untersuchen. Offensichtlich besitzen wir ein lang gezogenes Loch vom Mund bis zum Anus. Deshalb argumentieren einige, dass wir Menschen topologisch gesehen Donuts sind. Doch wenn man etwas genauer hinsieht, wird es komplizierter. Schließlich sind auch unsere Nasenlöcher mit unserer Mundhöhle verbunden, ebenso wie die vier Tränenkanäle mit der Nasenhöhle. Zählt man diese mit, kommt man auf sieben Löcher im menschlichen Körper.

Und tatsächlich könnten Frauen über ein achtes Loch verfügen, wenn man den Vaginalkanal mitbetrachtet (Eizellen können theoretisch in gegenüberliegende Eileiter gelangen, was einen weiteren Durchgang markiert). Offenbar herrscht bislang keine Einigkeit darüber, ob dies als valides Loch zählt oder nicht. Da ich keine Biologin bin, habe ich keine Meinung dazu. Und dann stellen sich natürlich noch Fragen, ob etwa Piercings als Loch zählen – oder ob ein Riss im Trommelfell die Lochzahl eines Körpers erhöht.

Aber auch abseits der komplizierten Anatomie ist es schwierig, Menschen eine genaue Lochzahl zuzuweisen. Denn dafür muss man zunächst einmal festlegen, was wir als Loch bezeichnen. Bisher haben wir bloß so etwas wie längliche Durchgänge betrachtet. Aber was ist zum Beispiel mit Hohlräumen? 

Wann ist ein Loch ein Loch?

Im 19. Jahrhundert begann der Mathematiker Bernhard Riemann, geometrische Objekte in mehr als bloß ein, zwei oder drei Dimensionen zu betrachten. Die von ihm untersuchten Oberflächen konnten beispielsweise vierdimensional sein – etwas, das sich zwar nicht mehr veranschaulichen lässt, aber etwa in der Physik eine wichtige Rolle spielt, da unser Universum vierdimensional ist. Um herauszufinden, welche dieser Oberflächen sich reibungslos ineinander umformen lassen, mussten Fachleute deren Lochzahl bestimmen. Aber wie sollte das gelingen, wenn man die Figuren nicht visualisieren kann?

Die Aufgabe ist umso schwieriger, wenn man erkennt, dass auch Löcher mehrere Dimensionen haben können. Ein Torus – ein Schwimmreifen – besitzt zum Beispiel ein Loch, durch das man seinen Finger stecken kann, sowie einen ringförmigen Hohlraum im Innern. Ein Donut hingegen ist im Inneren nicht hohl (wenn man von einem dichten, nicht porösen Teig ausgeht). Aus topologischer Sicht sollten sie sich also unterscheiden. 

Henri Poincaré begründete das Fachgebiet der modernen Topologie und lieferte die ersten Werkzeuge, um Lochzahlen zu bestimmen. Eine Methode besteht etwa darin, geschlossene Kurven – sogenannte Schleifen – auf die zu untersuchenden Oberflächen zu legen. Falls sich alle Schleifen zu einem Punkt zusammenziehen lassen, dann besitzt die Oberfläche kein Loch im Sinne eines Durchgangs. (Ich stelle mir dazu immer eine Art Lasso vor, mit dem man versucht, die Objekte zu fangen.)

Auf einer Kugeloberfläche lassen sich zum Beispiel alle Schleifen zu einem einzelnen Punkt zusammenziehen. Auf einem Torus ist das hingegen anders: Darauf gibt es zwei verschiedene Arten von Schleifen, bei denen das nicht möglich ist. Einmal solche, die eine Seite des Donuts umrunden, und andere, die wie Zuckerguss auf einem Donut die obere Seite des Torus umkreisen. 

Die verschiedenen Typen an zusammenziehbaren Schleifen definieren eine Konstante, die als erste Betti-Zahl b₁ bezeichnet wird. Ihr Wert entspricht stets der doppelten Lochzahl (im Sinne eines Durchgangs) eines Objekts.

Wenn es eine erste Betti-Zahl gibt, existiert natürlich auch eine zweite (und noch viele mehr). Im Prinzip verallgemeinern sie das zuvor genannte Konzept mit den Schleifen, nur dass diese höhere Dimensionen haben können. Für die zweite Betti-Zahl entsprechen diese höherdimensionalen Schleifen den Hohlräumen eines Objekts. 

Eine Kugeloberfläche hat zum Beispiel einen einzigen Hohlraum, ebenso wie ein Torus. Deren zweite Betti-Zahl b₂ beträgt also jeweils 1. Falls man Objekte in höheren Dimensionen untersucht, kann man auch die dritten, vierten, fünften Betti-Zahlen und so weiter berechnen. Hierzu nutzen Mathematikerinnen und Mathematiker dann Methoden aus der Algebra, sogenannte Gruppen.

Falls sich zwei Figuren ineinander umformen lassen, also topologisch gleich sind, dann müssen sie dieselben Betti-Zahlen haben. Und somit wird klar, dass der menschliche Körper keinesfalls ein Donut sein kann – und auch das Bild mit den sieben oder acht Löchern ist stark vereinfacht. Denn Menschen setzen sich aus unzähligen Zellen zusammen, die einen Hohlraum besitzen. Auch wenn die erste Betti-Zahl von Menschen also sieben (oder acht) beträgt, ist die zweite Betti-Zahl von Menschen gigantisch. 

Damit ähneln wir aus topologischer Sicht also eher einem Schweizer Käse als einem Donut. Jetzt kann man sich einen ähnlichen Witz wie das obige Bild überlegen, der diese erstaunliche Tatsache darstellt. Falls Sie einen lustigen Einfall dafür haben, lassen Sie es mich gerne wissen!