Im Jahr 1914 hat der britisch-amerikanische Mathematiker Aubrey John Kempner in der Zeitschrift »The American Mathematical Monthly« folgende Reihe veröffentlicht:

Seine Arbeit trägt den Titel »A Curious Convergent Series«. Man muss ein wenig genauer hinsehen, wenn man wissen will, was an dieser Reihe kurios ist. Kempner summiert offensichtlich Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen. Aber das ist an sich nicht weiter aufregend, denn die Summe über den Kehrwert aller natürlichen Zahlen ist die »harmonische Reihe«, die in der Mathematik schon seit Jahrhunderten erforscht wird. Ein genauer Blick auf die Formel zeigt aber, dass Kempner alle Kehrwerte ausgelassen hat, die die Ziffer 9 enthalten (deswegen passiert am Ende der Formel auch der seltsame Sprung von$\frac{1}{88}$ direkt zu$\frac{1}{100}$).

Die naheliegende Frage lautet: Wozu soll das gut sein? Es gibt unendlich viele positive ganze Zahlen. Es gibt natürlich auch unendlich viele natürliche Zahlen, die eine 9 enthalten. Aber wenn man die eine Unendlichkeit aus der anderen entfernt, hat man am Ende immer noch unendlich viele Zahlen übrig.

Kempner hat sich allerdings nicht für die Mächtigkeit der Mengen interessiert, sondern für die Konvergenz der Reihe. Die harmonische Reihe – das ist seit dem 14. Jahrhundert bekannt – divergiert. Auch wenn die Summanden immer kleiner werden, wächst die Summe früher oder später über jeden beliebig großen Grenzwert hinaus. Aber, und das war die Entdeckung von Kempner, wenn man die Nenner mit einer 9 entfernt, dann konvergiert die Reihe plötzlich.

Das ist nicht unbedingt offensichtlich: Man kann nicht einfach irgendeine unendliche Menge an Zahlen aus der harmonischen Reihe entfernen, um sie zur Konvergenz zu bringen. Würde man zum Beispiel nur jeden zweiten Summanden berücksichtigen, wäre diese neue Reihe ebenso divergent wie die alte. Kempner hat aber erkannt, dass das bei den Kehrwerten mit einer 9 anders ist.

Ein verallgemeinertes Ergebnis

Nimmt nur die Summanden, die einstellige Nenner haben, dann fällt nur ¹/₉ weg. Bei den zweistelligen Nennern sind es aber schon 18 Zahlen, die man entfernen muss (die acht Zahlen mit einer 9 an der zweiten Stelle und die zehn Zahlen von 90 bis 99). Und so weiter: Je mehr Stellen der Nenner hat, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, eine 9 darin zu finden. Oder anders gesagt: Je größer der Nenner wird, desto seltener findet man dort eine Zahl, in der keine 9 auftaucht. Und nur diese spielen für die Bildung der Summe eine Rolle.

Die Kempner-Reihe konvergiert zwar extrem langsam, aber sie konvergiert. Das ist natürlich nicht nur der Fall, wenn man die Zahlen mit einer 9 auslässt, sondern funktioniert mit allen anderen Ziffern ebenfalls. Es klappt auch, wie später gezeigt wurde, wenn man alle Summanden aus der harmonischen Reihe entfernt, deren Nenner eine bestimmte Ziffernfolge enthält. Es sind sogar noch komplexere Varianten der Ausdünnung möglich.

Der US-amerikanische Mathematiker Frank Irwin hat Kempners Ergebnis im Jahr 1916 verallgemeinert. Man muss die Nenner mit einer 9 gar nicht komplett verbieten. Es reicht, zu fordern, dass sie höchstens k-mal auftauchen dürfen, um am Ende immer noch eine konvergente Reihe zu erhalten (tatsächlich ist Irwins Resultat komplexer und berücksichtigt auch alle Kombinationen der Ziffern 0 bis 9 in unterschiedlicher Häufigkeit).

Aus der seltsamen Idee von Aubrey Kempner ist keine große Entdeckung erwachsen: Wir haben damit keine neuen Naturgesetze formuliert, keine revolutionären Maschinen gebaut oder neue mathematische Forschungsdisziplinen begründet. Aber er hat ein weiteres Mal gezeigt, dass wir unserer Intuition nur schwer vertrauen können, wenn es um die Unendlichkeit und ihre Grenzen geht.