»Unendlich viele Mathematiker gehen in eine Bar. Der erste bestellt ein Bier. Der zweite ein halbes Bier. Der dritte ein viertel Bier. Der vierte ein achtel Bier. ›Geht mir nicht auf die Nerven‹, sagt der Barkeeper und stellt zwei Bier auf den Tresen.«

Diesen Witz habe ich Anfang des Jahres 2018 auf dem Twitter-Account der »Science Busters«, der Wissenschaftskabarettgruppe, zu deren Ensemble ich gehöre, gepostet. Und selbst mehr als ein Jahr später beschäftigt er die Follower immer noch. Der scheinbare Widerspruch im Witz ist gleichermaßen verwirrend und faszinierend. »Nie im Leben reichen zwei Bier für UNENDLICH viele Mathematiker«, war etwa einer der Follower überzeugt, und selbst eine lange Diskussion konnte ihn nicht vom Gegenteil überzeugen.

Die Mathematik dazu ist nicht trivial, aber bei etwas genauerer Betrachtung auch nicht übermäßig schwer. Es handelt sich um eine geometrische Reihe:

Diese Formel gilt, wenn der Quotient q nicht größer als 1 und nicht kleiner als -1 ist. Bei einem Startwert a₀ = 1 und q = ½ ergibt sich genau die Abfolge aus dem Witz. Man setzt der Reihe nach 0, 1, 2, 3, … in die Formel ein und summiert die Ergebnisse: 1+ ½ + ¼ + ⅛ + … Der Barkeeper kennt schon den Grenzwert der Folge, der sich aus der Formel errechnet, und weiß, dass er mit zwei vollen Biergläsern auskommt und damit auch unendlich viele Mathematiker bedienen kann. Je größer k wird, desto kleiner wird q_k, und insgesamt kann die gesamte Summe aller Terme nie größer als 2 werden.

Unendlich viel Bier nach Feierabend

Man kann diesen Grenzwert exakt berechnen – aber auch das Verhalten der Reihe geometrisch veranschaulichen. Stellen wir uns ein Rechteck mit den Seitenlänge 1 und 2 vor, das also einen Flächeninhalt von 2 hat, und streichen davon Rechtecke, deren Flächeninhalt jeweils den Termen der Reihe entspricht. Beim ersten Term der Reihe ist das ein Quadrat mit Seitenlänge 1 und Flächeninhalt 1, also genau die Hälfte des ursprünglichen Rechtecks. Für den zweiten Term müssen wir ein Rechteck mit Flächeninhalt ½ streichen, also ein Rechteck mit den Seitenlänge 1 und ½, das nun genau der Hälfte des verbliebenen Quadrats entspricht.

Der dritte Term – ¼ – entspricht nun genau der Hälfte der verbleibenden Hälfte (ein Quadrat mit der Seitenlänge 0,5). Vom Quadrat mit der Seitenlänge ½, das uns jetzt noch bleibt, nimmt der vierte Term – ⅛ – erneut die Hälfte ein (ein Rechteck mit den Seitenlängen 0,5 und 0,25). Und so weiter. Jeder folgende Term hat in dem Teil des ursprünglichen Rechtecks Platz, das noch nicht beansprucht worden ist. Im Grenzfall unendlich vieler Terme ist das Rechteckt komplett gefüllt, und man erhält den Grenzwert 2.

Geometrische Reihen dieser Art findet man aber nicht nur in wissenschaftlichen Witzen, sondern in vielen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik. Zum Beispiel bei der Berechnung von Zinsen oder von Potenzreihen. Mit einer geometrischen Reihe lässt sich auch ein weiteres verwirrendes Beispiel für Unendlichkeit erklären: die Tatsache, dass 0,99999… gleich 1 ist.

Es scheint so, als könnten auch noch so viele Nachkommastellen aus einer Zahl, die mit einer 0 vor dem Komma beginnt, keine 1 machen. Aber diese Dezimalzahl ist nichts anderes als eine geometrische Reihe mit a₀ = 9/10 und q = 1/10, also die unendliche Summe von 0,9 + 0,09 + 0,009 + … Der Grenzwert, der sich aus der Formel oben errechnet, beträgt dann 0,9 geteilt durch (1 – 0,1) und ist exakt gleich 1.

Die Unendlichkeit kann verwirren. Wir haben kein intuitives Verständnis dafür, was passiert, wenn man es mit einem wahrhaftig niemals endenden Prozess zu tun hat. Wir müssen auf die Mathematik zurückgreifen und akzeptieren, dass die Ergebnisse unserem Alltagsverstand widersprechen. Und dass auch die Unendlichkeit manchmal ein Ende hat. In diesem Fall bei zwei Gläsern Bier – obwohl sich manche vielleicht noch mehr wünschen würden, um die verwirrenderen Aspekte der Unendlichkeit erträglicher zu machen.