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Freistetters Formelwelt: Viel Lärm um das Nichts!

Ohne das Nichts ist alles nix. Aber die Mathematik braucht ein ganz spezielles Nichts, das man sorgfältig definieren muss.
Nullen und Einsen, die ein einem Loch verschwindenLaden...

Man könnte meinen, nichts wäre einfacher als das Nichts. Nichts ist, wenn nichts da ist. Aber auf die Idee, dass man dieses Nichts auch mathematisch einsetzen kann, sind die Menschen erst erstaunlich spät gekommen. In moderner Formulierung sieht das Nichts so aus:

Die Definition der leeren MengeLaden...
Definition des Nichts

In normale Sprache übersetzt bedeutet diese Formel: »Es existiert eine Menge, die keine Elemente enthält.« Diese Aussage erscheint uns heute höchst trivial. Aber sie ist das, was der Definition der Zahl Null zu Grunde liegt.

In den alten Hochkulturen von Babylonien, Griechenland und Rom gab es keine Null; auf jeden Fall nicht als eigenständige Zahl. Die wurde erst nötig, als vor etwa 2000 Jahren in Indien ein Stellenwertsystem entwickelt wurde. Also ein System, bei dem es darauf ankommt, wo in einer Zahl eine Ziffer zu finden ist. Bei der Zahl 303 steht die erste 3 ja für »drei mal hundert« und die zweite 3 für »drei mal eins«. Nur die Null zwischen den beiden unterscheidet diese Zahl von der 33, bei der die erste 3 etwas ganz anderes bedeutet, nämlich »drei mal zehn«.

Der älteste bisher bekannte Beleg für die Verwendung der Null als Ziffer stammt aus dem so genannten Bakshali-Manuskript, einer Sammlung mathematischer Texte aus dem 3. Jahrhundert n. Chr., das in Pakistan gefunden wurde. Bis die Null dann auch in Europa Verbreitung fand, dauerte es bis ins 12. Jahrhundert. Die indischen Ziffern kamen über die islamischen Mathematiker bis zu uns, und selbst dann wurde die Null von vielen Gelehrten nicht für voll genommen. Manche betrachteten sie nur als »Zeichen«, aber nicht als vollwertige Zahl. Erst ab dem 17. Jahrhundert wurde die Null so gut wie überall so verwendet, wie wir das heute tun.

Die Null regelt den Mengen-Verkehr

Abgesehen davon, dass eine Zahl wie die Null nötig ist, um bestimmte Rechnungen durchführen zu können, ist sie vor allem dann von Bedeutung, wenn es darum geht, die Regeln für so genannte algebraische Strukturen aufzustellen. Dabei geht es um die Art und Weise, wie Mengen miteinander verknüpft werden können. Das können sehr komplexe Operationen sein, aber auch vertraute Tätigkeiten wie die Grundrechenarten.

Will man zum Beispiel mathematisch exakt definieren, was es bedeutet, zwei Zahlen zu addieren, dann kommt man dabei nicht ohne die Null aus. Sie ist in diesem Zusammenhang das »neutrale Element», also die Zahl, die bei der Addition eine andere Zahl nicht verändert.

Die oben angegebene Formel geht noch eine Ebene tiefer und beschreibt das so genannte Leermengenaxiom, das aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre stammt. Diese bildet die Grundlage, auf der so gut wie alle anderen Bereiche der Mathematik aufbauen. Dort wird die Existenz einer »leeren Menge« beschrieben und gefordert, die gleichzeitig auch die einzige Menge mit einer Mächtigkeit gleich null ist. Als Mächtigkeit beziehungsweise Kardinalität nennt man die Anzahl der Elemente, die in einer Menge enthalten sind. Die Menge aller bisher erschienenen Formelwelt-Kolumnen etwa hat 145 Elemente, also eine Mächtigkeit von 145. Man kann das Konzept auch auf unendliche Mengen erweitern, was Georg Cantor im 19. Jahrhundert tat.

Es gibt jedoch nur eine einzige Menge mit der Kardinalität von null, und das ist die leere Menge. Die Zahl Null selbst ist aber nichts anderes als die Anzahl der Elemente einer leeren Menge, also deren Kardinalität. Im Gegensatz zu anderen Mengen ist die leere Menge durch ihre Kardinalität auch eindeutig bestimmt. Eine Menge mit der Kardinalität von null kann nur die leere Menge sein, eine andere Möglichkeit gibt es nicht.

Heute kommen wir ohne Null definitiv nicht mehr aus. In der Mathematik ebenso wenig wie im alltäglichen Leben. Sie ist definitiv mehr als nichts!

11/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 11/2019

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