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Freistetters Formelwelt: Warum ist es hier so unordentlich?

Wenn die Unordnung immer größer wird, dann liegt das nicht unbedingt an der eigenen Disziplinlosigkeit, sondern vielleicht nur an einem fundamentalen Phänomen des Universums: der stetig steigenden Entropie.
Große Unordnung

Wenn man das Institut für Physik der Universität Wien durch den Eingang in der Strudlhofgasse betritt und dann gleich rechts abbiegt, gelangt man in den Ludwig-Boltzmann-Hörsaal. Dort habe ich während meines Studiums meine mathematischen Übungsstunden absolviert. Und dabei natürlich auch die berühmteste Gleichung des Physikers kennen gelernt, der dem Saal den Namen gegeben hat – obwohl er selbst sie so nie aufgeschrieben hat, denn das war Max Planck:

Boltzmann-Gleichung
Boltzmann-Gleichung

Übersetzt bedeutet sie: Die Entropie S ist proportional zum Logarithmus des zugänglichen Phasenraumvolumens eines Systems. Aber damit ist natürlich noch nicht viel erklärt …

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass Wärme nicht ohne Weiteres von einem kalten zu einem warmen Körper übergehen kann. Ein Eiswürfel in einem Getränk wird beispielsweise nie von selbst kälter werden, sondern immer wärmer, bis er schmilzt.

Anschaulich lässt sich mit dem Eiswürfel auch erklären, was »Entropie« bedeutet. Die Wassermoleküle bilden eine geordnete Struktur, solange sie in Form der Eiskristalle fest sind. Schmelzen sie aber, verschwindet die Ordnung. Die Entropie stellt also in gewissem Sinn ein Maß für die Unordnung eines Systems dar: je höher die Entropie, desto geringer die Ordnung. Und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie nie von selbst kleiner werden kann. Anders gesagt: Tut man nichts dagegen, dann wird alles immer unordentlicher!

Das mag uns aus dem Alltag bekannt vorkommen. Boltzmann hatte bei seiner Formel aber nicht unaufgeräumte Schreibtische und schmutziges Geschirr im Sinn, sondern eine viel strengere Definition, die auf dem Konzept des »Phasenraums« basiert. Ein Atom hat (wenn wir die Quantenmechanik ignorieren) immer einen bestimmten Ort und eine bestimmte Geschwindigkeit. Um den Ort anzugeben, braucht man drei Koordinaten; ebenso sind drei Zahlen nötig, um die Geschwindigkeit für die drei Raumrichtungen anzugeben. Insgesamt gibt es folglich sechs Größen, die den Zustand eines Atoms festlegen. Wir können uns also nun, zumindest mathematisch, einen sechsdimensionalen Raum vorstellen – und jeder Punkt in diesem Raum beschreibt einen möglichen Zustand des Atoms.

Kabelsalat als maximale Entropie
Kabelsalat als maximale Entropie

Der abstrakte sechsdimensionale Raum ist in diesem Fall der Phasenraum des Systems, welches das eine Atom beschreibt. Will man ein System aus zwei Atomen beschreiben, dann benötigt man schon zwölf Dimensionen und so weiter. In Boltzmanns Formel steht das »W« allerdings nicht für den kompletten Phasenraum, sondern für den »zugänglichen« Bereich. Damit sind all die Zustände eines Systems gemeint, die es prinzipiell einnehmen kann. Im Beispiel des Eiswürfels im Wasserglas können die Moleküle des Würfels etwa jeden Ort innerhalb des Glases einnehmen. Sie können aber nicht im Glas des Biertrinkers am Nebentisch landen (zumindest nicht ohne äußere Eingriffe).

Betrachtet man nun alle möglichen Zustände, die die Moleküle von Eiswürfel und Getränk einnehmen können, dann sieht man leicht, dass nur sehr wenige dabei sind, in denen das Wasser in Form von Eis fest ist. Dagegen existieren sehr, sehr viel mehr davon, in denen sich die Wassermoleküle irgendwo an beliebigen Orten im Getränk befinden. Überlässt man ein System sich selbst, ist es auch sehr viel wahrscheinlicher, dass es in so einem ungeordneten Zustand landet: Die Entropie wird immer größer.

Boltzmanns Formel stellt einen direkten Zusammenhang zwischen den möglichen Zuständen eines Systems und der Entropie dar. Die Naturkonstante kB in dieser Formel wird zu Recht nach ihm Boltzmann-Konstante genannt. Und trotzdem sind wir noch weit davon entfernt, die Entropie wirklich fundamental zu verstehen. Sie spielt in der modernen Kosmologie eine ebenso wichtige Rolle wie in der Quantenmechanik. Wie wichtig die Unordnung für unser Universum ist, müssen wir erst noch herausfinden.

25/2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 25/2017

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