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Freistetters Formelwelt

Wenn Mathematiker emotional werden

Mathematiker gelten als eher bedächtige Zeitgenossen, die nichts so schnell aus der Ruhe bringt. Aber auch hier gibt es manchmal großen Aufruhr - zum Beispiel 1872, als ein deutscher Mathematiker mit der Entdeckung eines "Monsters" seine Kollegen überraschte.
Sinuskurven

Die Mathematik ist normalerweise keine Wissenschaft, die mit großen Entdeckungen assoziiert wird. Sie ist nicht die Astronomie, in der man immer wieder überraschende neue Himmelskörper im Universum findet – und auch nicht die Physik mit ihren unerwarteten neuen Elementarteilchen oder experimentellen Phänomenen. Sie ist nicht die Biologie, in der Forscherinnen und Forscher neue und unbekannte Organismen entdecken, oder die Archäologie, die verborgene Schätze aus der Erde gräbt.

Sie geht dagegen eher planvoll vor und tastet sich Schritt für Schritt anhand logischer Regeln voran beziehungsweise stellt Hypothesen auf, die dann formal bewiesen oder widerlegt werden. Doch auch in der Mathematik gibt es immer wieder "Entdeckungen", die alle überraschen. Zum Beispiel diese Funktion:

Weierstraß-Funktion
Weierstraß-Funktion

Das ist die Weierstraß-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Karl Theodor Wilhelm Weierstraß. Sie sieht – zumindest nach mathematischen Maßstäben – auf den ersten Blick recht harmlos aus. Als sie aber 1872 das erste Mal öffentlich vorgestellt wurde, kam das für fast jeden ziemlich unerwartet.

Denn bei der Weierstraß-Funktion handelte es sich um das erste Beispiel einer Funktion, die überall stetig und nirgends differenzierbar ist. Stetigkeit ist ein fundamentales mathematisches Konzept. Anschaulich beschreibt man damit Funktionen, die keine spontanen Sprünge aufweisen. Die Funktion einer Sinusschwingung ist zum Beispiel stetig. Die Funktion, mit der die Menge an Geld auf meinem Konto beschrieben wird, dagegen nicht; sie kann von einem Moment auf den anderen von einem Wert zu einem anderen springen. Die Differenzierbarkeit beschreibt in der Mathematik, ob und wie die Änderungsrate, also die Ableitung einer Funktion, berechnet werden kann.

Bevor Weierstraß seine Funktion vorstellte, ging man allgemein davon aus, dass eine stetige Funktion immer auch überall differenzierbar sein muss beziehungsweise dass es höchstens ein paar isolierte Punkte einer stetigen Funktion geben kann, an denen sie nicht differenzierbar ist. Wenn eine Funktion keine spontanen Sprünge aufweist, dann muss man auch immer an jedem Punkt angeben können, wie stark sie sich gerade ändert. Das dachte man – bis Weierstraß das Gegenteil bewies.

In seiner Funktion ist x eine reelle Zahl, a muss zwischen 0 und 1 liegen, b ist eine ungerade natürliche Zahl, und das Produkt von a und b muss größer als 1 + 3 /2π sein. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, dann kann man die unendliche Summe in der Formel für jede reelle Zahl x auswerten, und die resultierende Funktion ist für alle Punkte stetig. Sie mag zwar ein wenig kompliziert aussehen, und tatsächlich kann man sie als das erste Beispiel eines Fraktals ansehen, also einer Figur, die immer ähnlich aussieht, gleich bei welcher Vergrößerung man sie betrachtet. Aber sie ist stetig und – wie Weierstraß beweisen konnte – gleichzeitig an keinem einzigen Punkt differenzierbar.

Es dauerte ein wenig, bis sich die Welt der Mathematik an diese überraschende Entdeckung gewöhnt hatte. In den ersten Jahren nach ihrer Entdeckung wurde die Funktion in den Besprechungen der anderen Mathematiker als das "weierstraßsche Monster" bezeichnet. Und der französische Mathematiker Charles Hermite schrieb noch 1893 an einen Kollegen: "Ich wende mich in Angst und Schrecken ab vor dieser beklagenswerten Plage der stetigen Funktionen, die keine Ableitung haben."

Heute weiß man, dass es unendliche viele stetige Funktionen gibt, die nirgendwo differenzierbar sind und von denen die Weierstraß-Funktion nur eine ist. Die Mathematiker haben sich mit der überraschenden Entdeckung arrangiert – und den Wert dieses "Monsters" erkannt.

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