»Die Halbwertszeit der Menschheit beträgt aktuell noch rund 35 Jahre.« Mit diesen Worten beendet der Physik-Nobelpreisträger David Gross seinen Plenarvortrag an der Tagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft in Erlangen. Diesen erschreckenden Schluss zieht der Physiker, nachdem ein Experte geschätzt hatte, dass die Wahrscheinlichkeit eines Atomkriegs jährlich rund zwei Prozent betrage. »Das mag nach wenig klingen«, mahnt Gross, »aber als Physiker wissen wir, dass sich das kumuliert.«

Nach diesem Abendvortrag ist das Publikum sichtlich nachdenklich gestimmt. Die aktuelle Weltlage und die eindringlichen Warnungen des preisgekrönten Redners schweben wie eine düstere Wolke über den Teilnehmenden.

»Ich hoffe da ja immer noch auf die Spieltheorie«, sagt ein Physiker anschließend zu mir. Die Regeln der Logik – sofern alle ihnen folgen – würden es verbieten, einen atomaren Erstschlag durchzuführen. Ganz so optimistisch bin ich nicht. Ganz abgesehen davon, dass Menschen meist leider nicht rational handeln, half ausgerechnet der Begründer der Spieltheorie, der geniale Wissenschaftler John von Neumann, nicht nur bei der Entwicklung der ersten Atombombe, sondern er arbeitete mit der US-Regierung auch die atomaren Angriffe auf Japan aus – und riet zu einem Präventivschlag gegen die Sowjetunion.

Mit Poker zur Spieltheorie

Von Informationstheorie über Quantenmechanik bis hin zur Informatik: John von Neumann hat etliche naturwissenschaftliche Bereiche eindrücklich geprägt. Aber anders, als es vielleicht das klischeehafte Bild von genialen Wissenschaftlern nahelegt, war von Neumann kein introvertierter Eigenbrötler. Im Gegenteil: Er war berüchtigt für seine wilden Partys, die oft bis tief in die Nacht gingen. Und er pokerte leidenschaftlich gerne.

Bei dem Kartenspiel braucht es neben Glück und cleveren Spielzügen auch gezielte Täuschungsmanöver. Die richtige Strategie hängt dabei stark vom Verhalten des Gegenübers ab. Genau das untersuchte von Neumann 1928 in seinem Buch »Zur Theorie der Gesellschaftsspiele«.

Das Werk fiel dem Ökonomen Oskar Morgenstern auf, der daraufhin von Neumann aufsuchte. Nach einigen Unterhaltungen beschlossen die beiden Forscher, ihre gemeinsamen Überlegungen zu Spielstrategien in einer Veröffentlichung festzuhalten. Doch als sie ihre Ideen zu Papier brachten, wurde schnell klar: Eine einzelne Arbeit würde nicht ausreichen. Sie mussten ihre Ergebnisse auf zwei Aufsätze aufteilen. Kurze Zeit später stellte sich selbst das als vergeblich heraus. Sie trugen immer mehr zusammen, sodass nach und nach das knapp 700-seitige Buch »Theory of Games and Economic Behavior« entstand. Es ist bis heute ein Standardwerk der Spieltheorie.

Auch wenn es der Name des Forschungsbereichs nahelegt, dreht sich die Spieltheorie nicht nur um Spiele. Eigentlich geht es darum, wissenschaftlich fundierte Entscheidungen zu treffen – und die dazugehörigen Risiken abzuwägen.

Eine atomare Wette

1945 wollten die USA Japan möglichst schnell zur Kapitulation bewegen, bevor Stalin in den Krieg eingreifen konnte. Dafür schien die neue Waffe der USA geeignet: die Atombombe, an deren Entwicklung von Neumann maßgeblich beteiligt war. Die Vereinigten Staaten brauchten aber eine geeignete Bombardierungsstrategie. Einerseits sollten die Ziele aus militärischer Sicht wichtig sein, andererseits sollten sie nicht zu offensichtlich gewählt sein, um zu verhindern, dass sich Japan auf den Angriff vorbereitete.

Hier war von Neumanns Expertise im Bereich der Spieltheorie gefragt. In diesem Fall gab es zwei Gegenspieler, nämlich Japan und die USA, die versuchten, sich gegenseitig immer einen Schritt voraus zu sein. Nun mussten die beiden Länder wählen: Es gab viele verschiedene Ziele, welche die USA bombardieren konnten, und somit etliche Orte, für die Japan theoretisch Schutzmaßnahmen einleiten musste. Doch beide Staaten hatten nur endliche Ressourcen und mussten sich für den Angriff und den Schutz einzelner Städte entscheiden. Diese Situation lässt sich spieltheoretisch analysieren.

Hierfür geht man verschiedene Szenarien durch und weist ihnen jeweils Zahlenwerte zu, etwa zwischen –10 und 10, wobei ein hoher Wert eine besonders lohnenswerte Situation für eine Partei symbolisiert. Welche genauen Zahlenwerte man für welche Lage wählt, ist subjektiv. Aber anhand dieser subjektiven Gewichtung lässt sich dann aus objektiver Sicht eine optimale Strategie entwickeln.

Angenommen, es stünden nur zwei japanische Städte zur Auswahl – etwa Tokio und Hiroshima – und Japan hätte nur Ressourcen, um eine der beiden Städte zu schützen. In diesem Fall können vier verschiedene Szenarien eintreten:

1. Die USA bombardieren Tokio, aber Japan hat Hiroshima geschützt. Dann wird Tokio zerstört, was für die USA der bestmögliche Ausgang wäre (+10), für Japan umgekehrt der schlechteste (–10).
2. Die USA bombardieren Tokio, und Japan hat Tokio geschützt. Das wäre für die USA kein besonders guter Ausgang (–4), für Japan hingegen gut (4).
3. Die USA bombardieren Hiroshima, aber Japan schützt Tokio. In diesem Fall wird Hiroshima zerstört, was für die USA gut (+8) ist, für Japan schlecht (–8).
4. Die USA bombardieren Hiroshima, und Japan hat die Stadt geschützt. Das ist der bestmögliche Fall für Japan (8) und der schlechtmöglichste für die USA (–8).

Jetzt könnte Japan überlegen: Die USA werden sicher Tokio angreifen, weil das die Hauptstadt ist, deshalb muss diese geschützt werden. Andererseits wissen die USA, dass Japan so denken wird, und greifen entsprechend Hiroshima an. Deshalb sollte Japan vielleicht doch Hiroshima schützen. Aber in diesem Fall könnten die USA Tokio angreifen … – solche Gedanken führen schnell in einen auswegslosen Entscheidungsloop. Und so muss man auf Mathematik zurückgreifen, um die bestmögliche Entscheidung zu treffen.

Ziel einer jeden Partei ist es, ihre Punktzahl zu maximieren. Da es aber keine eindeutig optimale Entscheidung gibt, muss man sich laut von Neumann vom Zufall leiten lassen. Die Frage ist: Wenn die USA und Japan immer wieder das Tokio-Hiroshima-Dilemma durchleben würden – welche Handlungsweise wäre dann im Mittel am besten?

Man könnte beispielsweise eine Münze werfen und so entscheiden, welche Stadt angegriffen beziehungsweise geschützt wird. Falls die USA Tokio angreifen, beträgt der Erwartungswert für Japans Punktzahl: 0,5·(–10) + 0,5·4 = –3. Falls die USA hingegen Hiroshima angreifen, dann beträgt der Erwartungswert für Japans Punktzahl: -8·0,5 + 8·0,5 = 0. Insgesamt entspricht der Erwartungswert für Japan also –3·0,5 + 0·0,5 = –1,5. Für die USA gilt Gleiches mit umgekehrtem Vorzeichen.

Die beste gezinkte Münze finden

Tatsächlich hätte Japan aber bessere Chancen, wenn es seine Entscheidung anhand anderer Wahrscheinlichkeiten fällt. Statt einer fairen Münze, die in 50 Prozent aller Fälle auf Kopf oder Zahl landet, könnte man eine gezinkte Münze nehmen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von p auf Kopf landet und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – p auf Zahl. Die Wahrscheinlichkeit p muss man dabei so wählen, dass die Punktzahl für Japan maximal ausfällt.

Es ergibt sich folgende Gleichung für den Fall, dass die USA Tokio angreifen: –10p + 4(1 – p) = 4 – 14p. Falls die USA hingegen Hiroshima angreifen, folgt: 8p –8(1 – p) = 16p – 8. Der gesamte Erwartungswert der Punkte für Japan hängt nun vom Verhalten der USA ab. Da dieses aber nicht bekannt ist, muss sich Japan auf das schlimmstmögliche Szenario einstellen.

Im ersten Fall (falls die USA Tokio angreifen) sinkt Japans Erwartungswert mit steigendem p; im zweiten wächst sie. Um sich auf die dramatischste Situation vorzubereiten, sollte Japan p so wählen, dass die Erwartungswerte gleich groß sind – unabhängig von der Entscheidung der USA. Dafür muss man beide Erwartungswerte gleichsetzen: 4 – 14p = 16p – 8, woraus folgt: 12 = 30p, also p = 0,4.

Japan sollte demnach in 40 Prozent der Fälle Hiroshima schützen und in 60 Prozent der Fälle Tokio. Für die USA ergibt sich das umgekehrte Ergebnis: In 60 Prozent der Fälle sollten die Vereinigten Staaten laut Spieltheorie Hiroshima angreifen und in 40 Prozent der Fälle Tokio.

Wenn Sie sagen, warum bombardieren wir die Sowjetunion nicht morgen, sage ich: Warum nicht heute?«John von Neumann, Mathematiker und Physiker

Die dargelegte Rechnung ist ein von mir erdachtes Beispiel mit von mir erdachten Zahlenwerten. Es gibt keine Hinweise darauf, dass die USA eine solche Berechnung durchgeführt haben – zumal das Problem damals wesentlich komplexer war; es standen zunächst fünf verschiedene Städte zur Auswahl: Kokura, Hiroshima, Yokohama, Nigita und Kyoto.

Am Ende fiel die Wahl auf Hiroshima und Nagasaki – die Zerstörung der beiden Städte ging als furchtbares Ereignis in die Geschichte ein, bei dem schätzungsweise um die 200 000 Menschen ums Leben kamen. Schlussendlich erreichten die USA ihr Ziel: Japan kapitulierte, der Zweite Weltkrieg wurde beendet, noch bevor die Sowjetunion in den Pazifikkrieg eintrat.

Wie geht es weiter?

Mit dem Ende des Zweiten Weltkriegs begann der Kalte Krieg. Das atomare Wettrüsten zwischen den USA und der Sowjetunion startete.

Von Neumann glaubte nicht an eine friedliche Lösung. Er war sich sicher, dass es zu einem offenen Atomkrieg zwischen den beiden Mächten kommen würde. Deshalb plädierte er für einen nuklearen Erstschlag. »Wenn Sie sagen, warum bombardieren wir (die Sowjetunion) nicht morgen, sage ich: Warum nicht heute? Wenn Sie sagen, heute um fünf, sage ich: Warum nicht um eins?«, äußerte er sich dem »Life«-Magazin zufolge im Jahr 1950.

Heute wissen wir, dass es eine gute Entscheidung war, nicht auf von Neumann zu hören. Der Kalte Krieg ging glücklicherweise ohne fatalen Atomkrieg zu Ende.

Doch nun, rund 35 Jahre später, befinden wir uns wieder in einer Zeit voller offener Konflikte mit Kriegsparteien, die über Kernwaffen verfügen. Umso wichtiger erscheint die »Mainauer Erklärung«, die David Gross 2024 initiiert hat, und die von mehr als 100 Nobelpreisträgern unterzeichnet wurde.

Die Erklärung warnt eindringlich vor der Gefahr, »dass diese schrecklichen Waffen entweder versehentlich oder vorsätzlich eingesetzt werden – mit der Wahrscheinlichkeit des Endes der menschlichen Zivilisation, wie wir sie kennen«. Die Unterzeichner nennen auch konkrete Vorschläge, um die Gefahr eines Atomkriegs zu senken. Zum Beispiel sollten laut Erklärung mindestens zwei Personen nötig sein, um einen nuklearen Angriff anzuordnen; was in vielen Ländern (etwa den USA oder Nordkorea) jedoch nicht der Fall ist.

Hoffen wir, dass die Gelehrten in diesem Fall Gehör finden. Auch wenn es aktuell leider düster aussieht.