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Freistetters Formelwelt: Mit Mathematik in die Zukunft blicken

Eine Zahl mehrmals mit sich selbst zu multiplizieren, kann manchmal aufwändig sein. Trotzdem sollte man den Aufwand nicht scheuen, denn vielleicht findet sich ein ganz neues mathematisches Werkzeug.
Blick in die Kristallkugel
Mathematik kann zwar nicht die Zukunft vorhersagen – aber manche Entdeckungen finden zu späterer Zeit ungeahnten Nutzen.

Das Leben von Abraham de Moivre war durchaus ereignisreich. Er wurde 1667 in Frankreich geboren und wuchs in einem protestantischen Umfeld auf, was ihn im Alter von 18 Jahren in große Schwierigkeiten brachte. Denn da hob König Ludwig XIV das Edikt von Nantes auf, das Religionsfreiheit zugesichert hatte. De Moivre wurde – mit vielen anderen – eingesperrt, in dem Versuch, ihn zum Katholizismus zu bekehren.

Nach zwei Jahren konnte er schließlich nach England fliehen und versuchte dort als Privatlehrer sein Geld zu verdienen. Nachdem er schon in Frankreich Mathematik studiert hatte, konnte sich de Moivre in England nun auch mit der Arbeit von Isaac Newton beschäftigen. Das tat er so intensiv, dass er zu einem engen Freund Newtons wurde, der ihn auch mit der Herausgabe einiger seiner Werke betraute.

De Moivre führte auch eigene mathematische Forschung durch und veröffentlichte diverse Arbeiten. Eine der Formeln, die inzwischen nach ihm benannt ist, hat er darin zwar verwendet, aber nie explizit aufgeschrieben:

Das ist der Satz von de Moivre und er gilt für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen n. Das »i« in der Formel ist die imaginäre Einheit; die Gleichung zeigt also einen Zusammenhang zwischen den komplexen Zahlen und trigonometrischen Funktionen.

Den Namen »Satz von de Moivre« hat diese Formel erst von Leonhard Euler bekommen, der sich mit ähnlichen Themen beschäftigte. Tatsächlich sind die eulersche Formel und die daraus abgeleitete berühmte eulersche Identität (e + 1 = 0) eng mit dem Satz von de Moivre verwandt. Aber auch abseits dieser rein mathematischen Anwendungen findet man die Formel von de Moivre in Bereichen, von denen der Franzose nichts wissen konnte.

Hilfe bei der Quantenmechanik

Zum Beispiel in der Quantenmechanik: Dort spielt die Fourier-Transformation eine grundlegende Rolle. Will man ein System quantenmechanisch beschreiben, verwendet man dafür eine »Wellenfunktion«, die den Zustand des Systems entweder im so genannten Ortsraum oder im Impulsraum darstellt, also vereinfacht gesagt entweder Position oder Impuls (Geschwindigkeit) zur Darstellung benutzt. Will man von einer Beschreibung zur anderen wechseln (und das will man in der Quantenmechanik sehr oft), muss man eine Fourier-Transformation durchführen. Den Prozess im Detail zu erklären, würde hier zu weit führen, aber es läuft darauf hinaus, dass man die Wellenfunktion mit einer Exponentialfunktion multipliziert und das Ergebnis dann integriert.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Wer schon mal versucht hat, ein kompliziertes Integral zu lösen, wird wissen, dass man dabei für jede Vereinfachung dankbar ist. Und hierbei kann der Satz von de Moivre durchaus weiterhelfen. Die Exponentialfunktion, mit der man es unter dem Integral zu tun bekommt, lässt sich mit der eulerschen Formel und dem Satz von de Moivre in eine Summe von Cosinus- und Sinus-Funktionen umschreiben. Dadurch kann man auch das Integral selbst in zwei (hoffentlich) weniger komplizierte Integrale aufspalten, die sich dann einzeln lösen lassen.

Die Formel von de Moivre findet sich auch in vielen anderen naturwissenschaftlichen Bereichen. De Moivre selbst hat von seiner Arbeit allerdings kaum profitieren können. Als Franzose in England fand er trotz seiner guten Kontakte keine Anstellung an einer Universität. Und jenseits des Ärmelkanals sah die Lage nicht besser aus. Er musste sich weiter als Privatlehrer durchschlagen, er beriet Menschen in Kaffeehäusern, die wissen wollten, wie ihre Chancen beim Glücksspiel stehen und war bis zu seinem Tod nicht in der Lage, ein Leben zu führen, dass seinem Status als Mathematiker angemessen wäre. Aber immerhin: Fünf Monate vor seinem Tod im November 1754 wurde er von der französischen Académie des sciences als Mitglied akzeptiert.

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