Alle zwei bis drei Jahre verreise ich mit einer großen bunten Truppe an Personen. Rund 25 Verwandte, Freunde und Bekannte, die zwischen 3 und 90 Jahre alt sind, verbringen dann gemeinsam eine Woche in einer schönen Unterkunft. An dem einen oder anderen feucht-fröhlichen Abend packt dann irgendjemand ein Kinderspiel aus, das den Erwachsenen einiges abverlangt: Gedächtnisleistung, Geschwindigkeit und Geschick. In diesem Jahr war das beliebte Spiel »Dobble« dran. Schnell kam dabei die Frage auf: »Manon, wie funktioniert das eigentlich?«

Gemeint waren damit nicht die Spielregeln, die relativ simpel sind: Jeder Spieler erhält die gleiche Anzahl an verdeckten Karten, auf denen verschiedene Symbole aufgedruckt sind. Alle Spieler decken dann gleichzeitig ihre Karten auf und gleichen sie mit einer Karte in ihrer Mitte ab. Möglichst schnell müssen sie das Symbol nennen, das ihre Karte mit der mittleren gemeinsam hat. Die Person, die als Erstes das passende Symbol identifiziert, darf ihre Karte ablegen. Gewonnen hat, wer als Erstes keine Karten mehr hat.

Das Erstaunliche: Unter den 55 Karten des Spiels hat jedes Kartenpaar exakt ein Symbol gemeinsam – nicht mehr und nicht weniger. Völlig egal, welche zwei Karten umgedreht werden, man findet immer nur ein gleiches Symbol auf beiden. Während des Spiels fällt das oft schwer zu glauben. Im Verlauf unserer abendlichen Partien schrie immer mal wieder jemand auf: »Halt! Auf meiner Karte ist nichts zu sehen, das auf der mittleren abgebildet ist!« Doch bei genauerem Hinschauen entpuppte sich die Aussage stets als falsch. Aber wie lässt sich ein solches Kartenspiel entwerfen?

Ich wünschte, ich könnte jetzt erzählen, dass ich mir das Spiel ansah und schnell eine Erklärung parat hatte. Dem ist aber nicht so. Ich fand die Funktionsweise von Dobble auf Anhieb spannend, konnte aber nicht direkt die Mathematik dahinter erklären. Als ich aus dem Urlaub zurückkehrte, fing ich sofort an zu recherchieren und stellte dabei Faszinierendes fest: Nicht nur birgt das Spiel erstaunlich abstrakte mathematische Konzepte – es hängt auch mit einer der größten offenen Fragen der Geometrie zusammen.

Vereinfachte Mini-Dobble-Versionen

Um die Funktionsweise hinter Dobble zu verstehen, kann man sich zunächst auf eine kleinere Version des Spiels mit nur sieben Karten konzentrieren. Wie lassen sich verschiedene Symbole auf den Karten verteilen, damit je zwei Karten exakt ein Symbol gemeinsam haben? Wenn man genauer darüber nachdenkt, eröffnen sich zwei Wege, damit das gelingt.

1. Man stattet jede der sieben Karten zunächst mit ein und demselben Symbol aus, etwa einem Nilpferd. Und dann fügt man zu jeder Karte unterschiedliche Symbole hinzu: etwa bei Karte 1 einen Löwen und einen Kakadu, bei Karte 2 eine Möwe und einen Wal und so weiter. In diesem Fall hat jede Karte drei Symbole, insgesamt gibt es 15 verschiedene Symbole.
   Problem: Jedes Kartenpaar hat stets das Nilpferd gemeinsam. Ein solches Spiel wäre daher langweilig, denn bei jedem Aufdecken der Karten ist klar, dass das Nilpferd die gesuchte Gemeinsamkeit ist.
2. Statt jedes Kartenpaar mit dem gleichen gemeinsamen Symbol auszustatten, kann man das andere Extrem wählen: Für jedes Kartenpaar wird ein eigenes Symbol gewählt. Da sich mit sieben Karten \(\binom{7}{2}=21\) Paare bilden lassen, braucht man also mindestens 21 verschiedene Symbole. Diese werden paarweise auf die Karten verteilt, so dass jede Karte mit sechs Symbolen ausgestattet ist. Wählt man zwei Karten aus, haben diese stets nur ein Symbol gemeinsam – zudem besitzen keine zwei Paare das gleiche gemeinsame.
   Problem: Mit sieben Spielkarten funktioniert diese Vorgehensweise zwar gut; wenn man aber ein größeres Spiel wie Dobble konzipieren möchte, das aus 55 Karten besteht, wird es schnell kompliziert. Bei 55 Spielkarten gibt es \(\binom{55}{2}=1485\) verschiedene Paare – ebenso viele Symbole bräuchte man also in dem Spiel. Damit würde jede Karte 54 Symbole zieren, was ziemlich unübersichtlich wäre.

Die zwei geschilderten Möglichkeiten erzeugen also ein Spiel, das entweder besonders langweilig oder viel zu komplex ist. Dobble ist aber eine Mischung aus beiden Varianten: Die 55 Karten tragen je acht Symbole, von denen es insgesamt 57 verschiedene gibt.

Wir suchen also nach einem Spiel, das möglichst wenige unterschiedliche Symbole erfordert, aber dennoch spielerisch herausfordernd ist. Wie sich herausstellt, müssen die Karten dafür eine Bedingung erfüllen: Je zwei verschiedene Symbole tauchen nur auf einer einzigen Spielkarte auf. So gibt es beispielsweise nur eine Karte, auf der ein Iglu und ein Hund abgebildet sind (das ist bei Dobble der Fall, prüfen Sie es gerne nach!). Zudem darf jedes Kartenpaar auch nur ein Symbol gemeinsam haben. Das sind die zwei grundlegenden Regeln, nach denen das Spiel aufgebaut ist.

Geometrie als Hilfe

Anhand dieser beiden Bedingungen lässt sich ein Dobble-Spiel entwerfen. Dafür kann man unterschiedliche mathematische Ansätze wählen. Die wohl anschaulichste Herangehensweise stammt aus der Geometrie. Hierfür identifiziert man die Karten und die Symbole mit geometrischen Objekten: Aus den Karten werden Linien, und aus den Symbolen werden Punkte, die in der Ebene verteilt sind. Indem man also die Symbole durch eine Linie miteinander verbindet, hat man eine Spielkarte konstruiert, die diese Symbole enthält.

Ziel ist es, eine Art Netzwerk aufzubauen, das folgende Regeln erfüllt:

1. Jedes Punktepaar definiert exakt eine Linie.
2. Jedes Linienpaar hat genau einen Schnittpunkt.

Das ist einfach nur die Übersetzung der Dobble-Spielbedingungen in die geometrische Ausdrucksweise. Falls Sie sich mit Geometrie auskennen, dann erkennen Sie vielleicht, dass diese zwei Bedingungen ein bekanntes mathematisches Objekt definieren: die projektive Ebene.

Projektive Ebenen werden unter anderem beim perspektivischen Zeichnen benutzt. Dort malt man auf einer gewöhnlichen zweidimensionalen Ebene, markiert aber einen Fluchtpunkt, der einen unendlich fernen Punkt repräsentiert, an dem sich Parallelen treffen.

Projektive Ebenen erfüllen damit die zwei genannten Bedingungen. Hat man zwei Punkte, so definieren diese eine eindeutige Gerade (so wie in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie auch). Und zwei Geraden schneiden sich stets in exakt einem Punkt (das ist in der euklidischen Geometrie anders – dort schneiden sich Parallelen niemals).

Eine Ebene besteht aber – zumindest in herkömmlicher Sicht – aus unendlich vielen Punkten. Da die Punkte aber in der Dobble-Analogie für die Symbole des Spiels stehen (und Dobble natürlich nur endlich viele Symbole hat), müssen wir uns endlichen projektiven Ebenen widmen. Glücklicherweise sind auch diese inzwischen ein fester Bestandteil der Mathematik.

Endliche projektive Ebenen

Ein einfaches Beispiel für eine endliche projektive Ebene ist die Fano-Ebene. Diese besteht aus sieben Punkten, die durch sieben »Geraden« miteinander verbunden sind. In diesem Fall entsprechen die Geraden allerdings keinen geraden Linien, sondern teilweise gebogenen Kurven.

Interpretiert man jede der Linien als Spielkarte und jeden Punkt als Symbol, lässt sich so ein Dobble-Spiel konstruieren. Da jeder Punkt von drei Geraden berührt wird, enthält jede Karte je drei unterschiedliche Symbole. Das Spiel erfüllt dabei die zwei gestellten Bedingungen: Jedes Kartenpaar hat genau ein Symbol gemeinsam, und jedes Symbolpaar taucht auf nur exakt einer Karte auf. Damit hat man also ein funktionierendes Dobble-Spiel für sieben Karten gefunden. Wie sieht es aber mit einer anderen Kartenanzahl aus?

Tatsächlich gibt es ein einfaches Rezept, um verschiedene endliche projektive Ebenen zu erzeugen. Dafür ordnet man zunächst Punkte in einem quadratischen Gitter an, also in n Reihen und n Spalten. Diese werden anschließend wie folgt miteinander verknüpft:

1. Alle Punkte derselben Spalte werden durch Linien verbunden. Das macht n verschiedene Linien.
2. Alle Punkte derselben Reihe werden miteinander verbunden. Dadurch erzeugt man n weitere Linien.
3. Anschließend kommen die Diagonalen: Alle Punkte, die auf einer Diagonalen liegen, werden miteinander verbunden. Man fängt dafür oben links an und endet unten rechts. Die zweite Diagonale fängt mit dem zweiten Punkt in der ersten Reihe an und endet mit dem ersten Punkt in der letzten Reihe. Auf diese Weise erzeugt man wieder n verschiedene Geraden.
4. Dann folgen weitere Linien mit unterschiedlicher Steigung: Man verbindet die Punkte miteinander, die durch eine Reihe und zwei Spalten voneinander getrennt sind (dafür springt man um eins nach unten und zwei nach rechts). Danach werden Punkte miteinander verbunden, die durch eine Reihe und drei Spalten voneinander getrennt sind, und so weiter. Auf diese Weise erhält man n−1 Linien unterschiedlicher Steigung – und von jeder davon je n Stück.

Auf diese Weise bekommt man insgesamt (n+1)n verschiedene Linien – was also einem Spiel mit (n+1)n Karten entsprechen würde. Es geht aber noch weiter: Jede Linie gleicher Steigung lässt sich zusätzlich mit einem »Fluchtpunkt« verbinden: zum Beispiel alle waagerechten Geraden mit einem zusätzlichen Punkt.

Das heißt, zu den n² quadratisch angeordneten Punkten kommen n+1 weitere hinzu. Und diese neuen n+1 Punkte sind durch eine eigene Linie miteinander verbunden.

Insgesamt gibt es in der so konstruierten projektiven Ebene also (n+1)n+1 Punkte und ebenso viele Geraden. Jede Gerade durchläuft dabei je n+1 Punkte. Das entsprechende Dobble-Spiel besteht also aus (n+1)n+1 Karten, auf denen je n+1 Symbole abgebildet sind. Insgesamt gibt es (n+1)n+1 Symbole im Spiel.

Welche Dobble-Spiele sind möglich?

Mit diesem Rezept kann man Dobble-Spiele bauen. Setzt man für n = 2 ein, erhält man die Fano-Ebene: ein Dobble-Spiel mit 2·3+1 = 7 Karten, auf denen je drei Symbole abgebildet sind. Für n = 3 lässt sich ein Dobble-Spiel mit 13 Karten konstruieren, die jeweils vier Symbole enthalten. Bei n = 4 stößt man allerdings auf Probleme. Folgt man obiger Anleitung, erhält man keine projektive Ebene. Denn in diesem Fall schneiden sich die Geraden mehr als einmal – das heißt, es gibt Kartenpaare, die mehr als ein Symbol gemeinsam haben. Was ist schiefgelaufen?

Tatsächlich funktioniert die genannte Konstruktion nur, falls n eine Primzahl ist, also n nur durch eins und sich selbst teilbar ist. Bei n = 4 ist das nicht der Fall – deshalb muss man auf andere Methoden zurückgreifen, um eine projektive Ebene (und damit ein Dobble-Spiel) zu konstruieren.

Tatsächlich lässt sich nicht für jede Zahl n, die als »Ordnung« bezeichnet wird, eine projektive Ebene erzeugen. Erstaunlicherweise ist die Frage, für welche n eine solche Ebene existiert, bis heute unbeantwortet – und zählt zu den bedeutendsten offenen Problemen des Fachs.

Bisher ließ sich beweisen, dass projektive Ebenen existieren, wenn die Ordnung n die Potenz einer Primzahl ist, also n = p^a. Es konnte auch gezeigt werden, dass es keine projektive Ebene für n = 6 oder n = 10 gibt: Es existiert also kein Dobble-Spiel mit sieben oder elf Symbolen pro Karte. Für die Ordnung 10 mussten die Forschenden mit einem Computer mehr als 10¹⁴ verschiedene Fälle durchgehen (die Anordnungen von insgesamt 10·11+1 Punkten und Linien) und prüfen, ob irgendeiner der Fälle die Kriterien einer projektiven Ebene erfüllt. Bis heute ist allerdings unklar, ob es projektive Ebenen der Ordnung n = 12 gibt – ob es also ein Dobble-Spiel mit 13 Symbolen pro Karte geben kann. Hierfür müssten noch einmal wesentlich mehr Fälle durchgegangen werden als für die Ordnung 10, was heutige Computer überfordert.

Das herkömmliche Dobble-Spiel entspricht einer projektiven Ebene mit Ordnung n = 7. Es gibt also insgesamt 57 verschiedene Symbole, von denen jeweils acht Symbole eine Karte zieren. Da es sich um eine projektive Ebene handelt, besitzt jedes Kartenpaar nur ein gemeinsames Symbol, zugleich taucht jedes Symbolpaar auf nur je einer Karte auf. Damit ist die Mathematik hinter Dobble nun geklärt, oder?

Das letzte Rätsel

Nicht ganz. Ein Rätsel gibt es um das Spiel: Dobble besteht aus nur 55 statt der möglichen 57 Karten. Aus unerfindlichen Gründen wurden zwei Karten weggelassen – das Spiel funktioniert trotzdem.

Warum haben die Entwickler auf die zwei zusätzlichen Karten verzichtet? Auf diese Frage gibt es bisher keine zufrieden stellende Antwort. Im Internet kursiert das Gerücht, dass man sich auf 55 geeinigt habe, weil das der Standard-Kartenspielgröße entspräche (52 Karten plus 3 Joker). Andere mutmaßen, es läge am Namen: Dobble mit einer Dopplung der 5 in 55 Karten passt besonders gut zusammen. Was davon stimmt (wenn überhaupt eine der Erklärungen zutrifft), ist unklar.

Ich für meinen Teil freue mich jedenfalls darüber, dass ich nun die Mathematik hinter dem Spiel verstehe. Ob mir das bei künftigen Partien weiterhilft, wage ich allerdings zu bezweifeln. Denn um das Spiel zu meistern, muss man schnell sein und ein gutes Auge haben. Es gilt, die 16 Symbole auf den zwei Karten möglichst rasch abzugleichen und das gemeinsame Symbol zu nennen.

Während des Urlaubs hat sich herausgestellt: Ein Dobble-Talent habe ich nicht. Und auch die meisten anderen Erwachsenen schnitten – verglichen mit den Kindern – erstaunlich schlecht ab. Dafür war es umso bemerkenswerter, wie kreativ einige der Spielerinnen und Spieler wurden, wenn es ums Schummeln ging, vom Ablegen mehrerer Karten über heimliche Blicke unter den Kartenstapel bis hin zum Hinausschreien falscher Symbole. Welche Strategie dabei die beste ist, lässt sich ebenfalls mit Mathematik erklären – das erfordert aber einen eigenen Artikel.