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Freistetters Formelwelt: Wie kommt es zum Stau aus dem Nichts?

Verkehrsstaus ohne konkreten Anlass sind besonders ärgerlich. Warum sie auch besonders ungerecht sind und gleichzeitig unvermeidbar, lässt sich mathematisch erklären.
Verkehrsstau aus dem Nichts

Mein bevorzugtes Transportmittel ist das Fahrrad. Für längere Strecken nehme ich den Zug, doch für die kürzeren Wege innerhalb der Stadt und ins Umland bin ich mit meinem unmotorisierten Fahrzeug sehr zufrieden. Auto bin ich früher mal gefahren, habe aber schon seit mehr als zehn Jahren nicht mehr am Steuer eines Pkw gesessen und vermisse es auch überhaupt nicht. Ganz besonders nicht, wenn ich gemütlich an sich stauenden Fahrzeugkolonnen vorbeiradle.

Für die Menschen in den Autos allerdings ist so ein Stau natürlich eine sehr störende Angelegenheit. Umso mehr, wenn es nicht einmal einen konkreten Anlass gibt. Dass der Verkehr bei einem Unfall oder einer Baustelle zum Erliegen kommt, ist noch nachvollziehbar. Aber oft staut es sich, ohne dass irgendetwas passiert ist. So ein "Stau aus dem Nichts" oder "Phantomstau" ist besonders ärgerlich, doch zumindest mathematisch nachvollziehbar. Im Jahr 1992 veröffentlichten die Physiker Kai Nagel und Michael Schreckenberg ein Modell, mit dem sie die Bildung von Phantomstaus erklären konnten. Es kann durch diese mathematische Gleichung zusammengefasst werden:

Die Formel hinter dem Nagel-Schreckenberg-Modell
Die Formel hinter dem Nagel-Schreckenberg-Modell

Im heute "Nagel-Schreckenberg-Modell" genannten System stellt man sich eine konkrete Anzahl an Autos vor, gegeben durch die Zahl "n". Jedes besetzt einen bestimmten Raum auf der Straße, der durch die Größe der Fahrzeuge vorgegeben ist. Jedes Auto hat eine bestimmte Geschwindigkeit (vn), die aber die zulässige Höchstgeschwindigkeit (vmax) nicht überschreiten darf. Wie sich der Verkehr dann entwickelt, beschreiben vier simple Regeln, die in obiger Formel zusammengefasst sind und anschaulich beschrieben so aussehen:

  1. Wenn ein Auto sich zum gegenwärtigen Zeitpunkt (t) noch nicht mit Höchstgeschwindigkeit bewegt, erhöht es bis zum nächsten Zeitpunkt (t+1) seine aktuelle Geschwindigkeit um eine Einheit. Dieser Schritt beschreibt den Wunsch der Fahrer, sich möglichst schnell fortzubewegen.
  2. Ist der Platz vor einem Auto – beschrieben durch den Parameter dn(t) – zu klein für die aktuelle Geschwindigkeit, dann bremst es ab. In diesem Schritt geht es darum, das Verhalten der Fahrer zu beschreiben, die abbremsen, um Unfälle zu vermeiden.
  3. Dies ist der relevante Schritt im Modell: Per Zufall beginnt ein Fahrzeug zu "trödeln" und verringert seine Geschwindigkeit ein wenig.
  4. Alle Fahrzeuge bewegen sich mit den in den Schritten 1 bis 3 berechneten Geschwindigkeiten weiter, und die Berechnung startet von vorn.

Die Erklärung für die Bildung von Phantomstaus steckt in Schritt 3 des Nagel-Schreckenberg-Modells. Denn kein Fahrzeug fährt immer mit völlig konstanter Geschwindigkeit. Selbst wenn sonst nichts los ist, wird ein Auto mal ein wenig schneller und mal ein wenig langsamer werden. Oft wird das "Trödeln" auch durch eine Überreaktion erzeugt, zum Beispiel wenn ein Autofahrer stärker bremst, als notwendig wäre, um ein Auffahren auf das Fahrzeug davor zu verhindern. Oder die Fahrer sind abgelenkt, weil sie telefonieren, sich unterhalten oder irgendetwas am Straßenrand beobachten.

Wenn die Straße leer ist oder nur wenige Fahrzeuge unterwegs sind, hat das Trödeln keine Auswirkungen auf den Verkehrsfluss. Es existiert aber eine "kritische Dichte", ab der das Trödeln eines einzigen Autos sich auf alle folgenden auswirken kann. Wo der erste Trödler nur ein wenig abbremst, muss das folgende Fahrzeug seine Geschwindigkeit schon stärker verringern, das Auto dahinter noch mehr – und so weiter. So lange, bis ein Fahrzeug komplett zum Stillstand kommt und ein Stau aus dem Nichts entstanden ist.

Das Nagel-Schreckenberg-Modell zeigt auch die solchen Phantomstaus innewohnende Ungerechtigkeit: Der Verursacher des Staus bemerkt davon nichts. Es dauert ein wenig, bis sich die Effekte aufgeschaukelt haben. Wenn der Rest des Verkehrs zum Erliegen kommt und sich über den unerwarteten und unerwünschten Aufenthalt ärgert, ist das Fahrzeug, das den Stau aus dem Nichts ausgelöst hat, schon längst weitergefahren.

Die mathematischen Modelle der Verkehrswissenschaftler können zwar erklären, wie es zu den Staus auf unseren Straßen kommt, verhindern können sie sie aber nur selten. Weswegen ich weiterhin mit meinem Fahrrad unterwegs und am Ende meist schneller am Ziel sein werde als die sich stauenden Autos.

39/2016

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 39/2016

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