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Freistetters Formelwelt: Wie man ein Sofa um die Ecke bringt

Ein Sofaproblem begegnet den meisten Menschen im Möbelhaus, wenn es um die Auswahl der passenden Einrichtung geht. Man trifft es aber unter Umständen auch in der Mathematik.
Ein bunt gestreiftes Sofa vor einer im gleichen Streifenmuster gestrichenen Wand. Wir befinden uns in der Grauzone zwischen Inneneinrichtung und Terrorismus.Laden...

Im Journal der »Society for Industrial and Applied Mathematics« erschien 1966 unter dem Titel »Moving Furniture Through a Hallway« eine Frage des Mathematikers Leo Moser. Irgendwie muss Moser in seinem Arbeitsleben als Mathematiker auf die Idee gekommen sein, sich mit dem Transport von sperrigem Hausrat zu beschäftigen. Moser wurde 1921 in Wien geboren und siedelte 1924 nach Kanada über. Da er zu dem Zeitpunkt erst drei Jahre alt war, ist es eher unwahrscheinlich, dass er damals schon zum Möbelpacken eingesetzt wurde. Dennoch lautete die Frage, die er 1966 offiziell der Welt der Mathematik stellte: Wie sieht die größte Fläche aus, die um die Ecke eines L-förmigen Korridors mit Breite 1 manövriert werden kann?

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Man kann leicht sehen, dass man einen Halbkreis mit dem Radius 1 recht gut durch so einen Korridor bugsieren kann. Man muss ihn nur bis zum Anschlag den Gang entlang schieben; dann fällt der Mittelpunkt des Halbkreises genau mit dem Eckpunkt des Korridors zusammen. Der Halbkreis kann nun einfach um 90 Grad gedreht und weitertransportiert werden. Mit einer Fläche von π/2 klappt es also auf jeden Fall. Aber geht noch mehr?

Man weiß mittlerweile: Ja, da geht noch mehr. Für die so genannte »Sofakonstante« A gilt:

Formeldarstellung der Sofakonstante.Laden...

Schon 1968 zeigte der britische Mathematiker John Hammersley, dass auch ein Objekt der Fläche π/2 + 2/π um die Ecke passt. Seine Form sieht ein wenig wie ein altmodischer Telefonhörer aus, kann aber mit ein bisschen Fantasie auch als Sofa betrachtet werden. 1992 konnte Joseph Gerver diese Form noch etwas verfeinern und ihre Fläche geringfügig erhöhen. Hammersley konnte allerdings ebenfalls zeigen, dass die Fläche des sperrigen Sofas nicht größer als zweimal die Wurzel aus zwei sein kann, wenn es noch um die Ecke passen soll. Diese obere Schranke konnte 2017 von den Mathematikern Yoav Kallus und Dan Romik ein wenig gesenkt werden.

Aus all dieser Forschung kann man mindestens zwei Dinge lernen. Erstens: Der tatsächliche Wert der Sofakonstante liegt irgendwo zwischen 2,2195 und 2,37. Zweitens: Der Transport eines Sofas um eine Ecke beschäftigt die Mathematik seit über 50 Jahren! Und wird das auch noch weiter tun. Denn das »Sofaproblem« bleibt weiter ungelöst, und der wahre Wert der Sofakonstante ist unbekannt.

Im echten Leben kriegt man ein Sofa mit ein bisschen Kraft und gutem Willen meistens irgendwie um die Ecke. Zur Not kann man auch noch nach oben in die dritte Dimension ausweichen und den nötigen Platz für die Drehung finden. Und wenn gar nichts mehr geht, kann man es immer noch auseinanderschrauben und in Einzelteilen transportieren. Es wäre also eigentlich gar nicht nötig, dass die Mathematik sich so intensiv mit dieser Frage beschäftigt.

Sie tut es aber trotzdem. Weil ein ungelöstes Problem allen mathematikaffinen Menschen ebenso ein Dorn im Auge ist wie den Möbelpackern ein störrisches Sofa. Weil das Problem unterhaltsam ist. Und weil man dabei durchaus auch ein wenig über Geometrie lernen kann. Das Sofaproblem wurde immerhin populär genug, um in einem Roman des Sciencefiction-Autors Douglas Adams beschrieben zu werden (»Der elektrische Mönch – Dirk Gentlys holistische Detektei«).

Leo Moser jedenfalls schien großen Spaß an solchen Problemen gehabt zu haben. Er sammelte sie in einem eigenen Buch, in das Kollegen, Gäste an der Universität oder wer auch immer sonst bei ihm vorbeikam, ihre eigenen ungelösten Fragen und Probleme eintragen konnten. Moser starb schon 1970 mit nur 48 Jahren. Wer weiß, welche mathematischen Aspekte der Inneneinrichtung er sonst noch entdeckt hätte.

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