Ganz allgemein versteht man unter den Feldgleichungen die Bewegungsgleichungen in klassischen Feldtheorien und auch in den Quantenfeldtheorien (QFT). Diese Bewegungsgleichungen diktieren die Dynamik des physikalischen Systems.

Immer das gleiche Rezept

Feldgleichungen folgen zwingend einem Konstruktionsplan, mit dessen Hilfe aus den Lagrangedichten (Lagrangian) der Theorie die Bewegungsgleichungen über die Euler-Lagrange-Gleichungen (die bereits aus der klassischen Mechanik bekannt sind) folgen. Diese Bewegungsgleichungen sind gerade identisch mit den Feldgleichungen der Theorie. Der umgekehrte Weg ist ebenfalls praktikabel: man sucht Bewegungsgleichungen auf, aus denen die Lagrangedichten folgen. Der kanonische Aufbau einer Theorie ist somit möglich, wenn auch die praktischen Rechnungen im Detail äußerst kompliziert sind.

Beispiele

• In der Quantenelektrodynamik (QED), einer (speziell) relativistischen und quantisierten Theorie des elektromagnetischen Feldes, können die Elektronen und deren Antiteilchen, die Positronen, auf dem Quantenniveau beschrieben werden. Die elektromagnetische Kraft wird durch den Austausch von Bosonen, den Photonen, verstanden.
• Die Quantenchromodynamik (QCD) ist eine quantisierte Theorie der starken Wechselwirkung. Sie erklärt auf der Quantenebene die Wechselwirkung der Quarks, die eine Farbladung tragen, genauso wie den Zusammenhalt der Nukleonen (Proton und Neutron) bzw. allgemeiner gesprochen den Zusammenhalt der Hadronen.
• Auch klassische, nicht quantisierte Feldtheorien wie die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) können mit dem Apparat der Euler-Lagrange-Gleichungen behandelt werden. Mit dem Ansatz der so genannten Einstein-Hilbert-Wirkung (die die gleiche Information wie der Lagrangian trägt) folgt dann die unten stehende Feldgleichung der ART.

klassische Feldgleichung der Gravitation

Bezogen auf die Relativitätstheorie meint der Begriff Einsteinsche Feldgleichungen (rechts) den fundamentalen Satz an Gleichungen, der die Materie (beschrieben durch den Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuumfall verschwindet) an die Raumzeit (repräsentiert durch den Riemannschen Krümmungstensor, der den Einstein-Tensor G konstituiert) selbstkonsistent koppelt. Die einfache Gestalt der Gleichung rechts täuscht! Diese Gleichung komplett ausformuliert besteht aus zehn nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden deshalb neue, spezielle Lösungen für Einsteins Feldgleichung gefunden. Eine Lösung der Feldgleichung gibt dann Aufschluss über die Raumzeit-Geometrie der Materie oder – falls der Energie-Impuls-Tensor verschwindet – die des Vakuums. Ungeladene Schwarze Löcher sind beispielsweise immer Lösungen der Vakuum-Feldgleichungen (z.B. die Kerr-Lösung oder die Schwarzschild-Lösung).

zentrale Bedeutung von Feldgleichungen

In der Physik geht es an sich immer um Feldgleichungen. Denn sie diktieren die Dynamik und das zukünftige Verhalten eines Systems oder die Wechselwirkung durch Kräfte.