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Lexikon der Astronomie: Isometrien

Das Studium von Symmetrien physikalischer Systeme ist ein sehr wichtiger und weitreichender Aspekt in der theoretischen Physik.

Symmetrie – Erhaltungsgröße

Nach dem Noether-Theorem ist mit jeder Symmetrie eine physikalische Erhaltungsgröße assoziiert. An diesen ist man besonders interessiert, weil sie das physikalische Problem stark vereinfachen und auch den analytischen Zugang erleichtern.

Beispiele

Beispiele gibt es unzählige in der Physik: schon mit den Mitteln der klassischen Mechanik kann gezeigt werden, dass axialsymmetrische Systeme eine Erhaltung des Drehimpulses zeigen; moderne Theorien der Elementarteilchenphysik fordern eine Supersymmetrie der Teilchen, die eine Klassifikation des 'Teilchenzoos' ermöglicht, aber auch um viele neue bisher nicht entdeckte Teilchen erweitert.

Symmetrien in Einsteins Theorie

Das Studium der Symmetrien von Raumzeiten im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ebenso ratsam wie erfolgreich. Es gilt dabei, alle Koordinatentransformationen zu untersuchen, die die Metrik (form)invariant lassen. Das heißt, dass sich die Metrik vor der Transformation von der nach der Transformation nicht unterscheidet. Koordinatentransformationen, die diese Eigenschaft haben, heißen Isometrien (iso, grch. 'gleich'; metros, grch. 'Maß'). Infinitesimale Koordinatentransformationen mit einem additiven Zusatzterm in Form eines Vektorfelds führen dabei auf die so genannte Lie-Ableitung. Verschwindet die Lie-Ableitung des metrischen Tensors, so liegt eine Isometriebedingung vor. Diese Gleichung heißt Killing-Gleichung und deren Lösungen Killing-Vektorfelder. Die Kenntnis aller Killing-Felder beschreibt also sämtliche raumzeitlichen Symmetrieeigenschaften der Metrik. Als Beispiel möge die Kerr-Metrik dienen: Stationarität ist eine Symmetrie, die die Erhaltung der Energie nach sich zieht; Axialsymmetrie bewirkt die Erhaltung des Drehimpulses. Es existieren demnach in diesem Fall zwei Killing-Vektorfelder.
Noch höher ist die Symmetrie der Minkowski-Metrik, die die flache, materiefreie Raumzeit beschreibt: Sie besitzt sogar zehn Killing-Vektorfelder!

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  • Die Autoren
- Dr. Andreas Müller, München

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