Kerr-Schild-Koordinaten sind eine mögliche Realisierung für ein Koordinatensystem um rotierende Schwarze Löcher zu beschreiben. Rotierende, elektrisch neutrale Löcher werden im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie mit der Kerr-Lösung dargestellt. Die Kerr-Schild-Koordinaten sind die (vor allem numerisch) günstigere Alternative zu den Boyer-Lindquist-Koordinaten. Beide Koordinatensysteme sind pseudo-sphärisch und asymptotisch flach.

Vorteil von Kerr-Schild

Ihr besonderer Vorteil gegenüber den Boyer-Lindquist-Koordinaten ist der Umstand, dass sich die Kerr-Schild-Koordinaten am Ereignishorizont, dem äußerem Horizont r₊, und auf der Rotationsachse des Loches (θ = 0) 'gutartig verhalten', d.h. keine unangenehmen Divergenzen auftreten. Die Metrik bleibt damit auch numerisch beschreibbar, ohne dass 'Unendlichkeiten' auftauchen. Dies liegt daran, weil die Lapse-Funktion α der Boyer-Lindquist-Koordinaten durch eine Größe z ersetzt wurde. α wird am Horizont null und bewirkt damit für einen Außenbeobachter das bekannte 'Einfrieren' dynamischer Prozesse, hervorgerufen durch den Stillstand der Zeit (gravitative Zeitdilatation, Gravitationsrotverschiebung).

technische Details

Die Komponente g_rr des metrischen Tensors in Boyer-Lindquist-Form divergiert. Mithilfe der Größe z lässt sich das umgehen und die Randbedingung am (äußeren) Horizont numerisch sehr elegant formulieren. In der Äquatorialebene hat z für alle Löcher (unabhängig von der Rotation!) das Verhalten 2/r. Bei r = 0 divergiert demnach auch die z-Funktion. Am äußeren Horizont bleibt sie hingegen endlich und wird in relativistischen Einheiten am Äquator exakt zwei für die Kerr-Lösung und exakt eins für die Schwarzschild-Lösung. An den Polen des Ereignishorizonts wiederum wird z = 1 bei Kerr und Schwarzschild.
Die Kerr-Schild-Koordinaten können hier abgerufen werden: metrischer Tensor der Kerr-Geometrie in Kerr-Schild-Form sowie darin enthaltene Kerr-Schild-Funktionen (Quelle: S.S. Komissarov 2004, astro-ph/0402403). Wie man schnell erkennt, weist der metrische Tensor in Kerr-Schild-Koordinaten mehr Komponenten auf (exakt zwei Nebendiagonalelemente mehr plus ihrem symmetrischen Pendant), als in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Das könnte erklären, weshalb häufig letztgenannte Koordinaten bevorzugt werden.

Motivation für Kerr-Schild

Weil die Kerr-Schild-Koordinaten kein pathologisches Verhalten an den Horizonten der Kerr-Lösung zeigen, kann es von Vorteil sein, sie in Computersimulationen (z.B. Hydrodynamik oder Magnetohydrodynamik) zu verwenden.