Das Linienelement ds² legt gerade die Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit in der Differentialgeometrie eindeutig fest.

Mathematisches Rüstzeug von Einsteins Theorie

Die vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten der Relativitätstheorie können gerade durch das Linienelement beschrieben werden. Im Prinzip kann man die Ausdrücke Linienelement, Metrik, Raumzeit und metrischer Tensor in der Relativitätstheorie synonym verwenden. Im Allgemeinen, gibt es in der Mathematik eine strengere Unterscheidung: Eine Mannigfaltigkeit mit einer Metrik heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Raumzeit ist vierdimensional und ist damit eine bestimmte Mannigfaltigkeit spezieller Dimension. Das Linienelement ist eigentlich ein Quadrat eines infinitesimalen, raumzeitlichen Abstands, der lorentzinvariant ist. Das bedeutet, alle Beobachter zweier Ereignisse (Weltpunkte) werden sich darauf verständigen können, dass sie denselben raumzeitlichen Abstand haben.

ds² zur Bahnenklassifizierung

Greift man bestimmte Trajektorien (Weltlinien) in der Raumzeit, die Geodäten, heraus, so kann man sie anhand des Vorzeichen des Linienelements klassifizieren. Sie heißen

• zeitartige Geodäten bei ds² > 0,
• lichtartige Geodäten oder Nullgeodäten bei ds² = 0,
• und raumartige Geodäten bei ds² < 0.

Wesentliche Linienelemente der Relativitätstheorie, die die Krümmungseigenschaften und die Geometrie der Mannigfaltigkeit bestimmen, sind

• die Minkowski-Metrik der SRT,
• die Schwarzschild-Lösung,
• die Reissner-Nordstrøm-Lösung,
• die Kerr-Lösung,
• die Kerr-Newman-Lösung, alles Metriken Schwarzer Löcher,
• die Metrik von Gravasternen,
• die Metrik von Neutronensternen,
• und die Robertson-Walker-Metrik der Kosmologie.