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Lexikon der Astronomie: Lorentzgruppe

Die eigentlichen, orthochronen Lorentz-Transformationen bilden eine mathematische Gruppe.

Gruppeneigenschaften

Generell gibt es in der Gruppenstruktur Elemente einer bestimmten Menge, die miteinander durch eine mathematische Operation verknüpft werden. Bei den Gruppen resultiert aus dieser Operation wieder ein Element, das zur Ausgangsmenge gehört.
Gruppen als mathematisches Gebilde genügen bestimmten mathematischen Kriterien, wie

  • der Existenz eines neutralen Elements;
  • der Existenz eines inversen Elements und
  • der Assoziativität.

Ist außerdem die Kommutativität gegeben, also Vertauschen der Reihenfolge von Operationen führt zum gleichen Ergebnis, so nennt man die Gruppe abelsch.
Diesen Kriterienkatalog kann man nun auf die Lorentz-Transformationen anwenden und nachweisen, dass sie die so genannte Lorentzgruppe bilden:

  • die Identität bildet die Transformationsmatrix mit verschwindender Relativgeschwindigkeit, v = 0. Die Lorentz-Transformationsmatrix wird dann gerade die Einheitsmatrix und überführt Vierervektoren in sich selbst.
  • Das inverse Element ist gerade die inverse Transformationsmatrix, die man erhält, wenn man β durch -β ersetzt: Die Geschwindigkeit wird invertiert.
  • Ebenso lässt sich die Assoziativität der Lorentz-Transformationen auf das Assoziativgesetz bei der Matrizenmultiplikation zurückführen.

vier Typen von Lorentz-Transformationen

    Man unterscheidet vier Typen von Lorentz-Transformationen (siehe Abbildung):
  • die eigentlichen oder orientierungserhaltenden (engl. orientation-preserving) Lorentz-Transformationen,
  • die uneigentlichen Lorentz-Transformationen,
  • die orthochronen oder zeitorientierungserhaltenden (engl. orthochronous or time-preserving) Lorentz-Transformationen
  • und die nicht-orthochronen Lorentz-Transformationen.
Terminologie bei Lorentz-Transformationen und Lorentz-Gruppe

weitere Lorentzgruppen

Nur die eigentlichen, orthochronen Lorentz-Transformationen (engl. proper orthochronous Lorentz transformations) bilden eine Untergruppe der Lorentzgruppe. Es handelt sich dabei um eine sechsparametrige, kontinuierliche Transformationsgruppe.
Darüber hinaus entspricht eine Hintereinanderausführung zweier Lorentztransformationen mit verschiedenen Relativgeschwindigkeiten gerade der Multiplikation von Matrizen bzw. hintereinander ausgeführten Drehungen mit verschiedenen Winkeln im Minkowski-Raum (Distributivgesetz).

Bezug zu Drehungen

Die Lorentzgruppe unterscheidet man in Spezielle und Allgemeine Lorentzgruppe und ordnet sie entsprechend der Speziellen Relativitätstheorie und der Allgemeinen Relativitätstheorie zu. In der Gruppentheorie stellt sich heraus, dass die Lorentzgruppe eine enge Verwandtschaft zur Rotationsgruppe, SO(3), aufweist. Die volle Lorentz-Transformation setzt dann zwei beliebige Inertialsysteme zueinander in Beziehung und kann in eine Verkettung von gewöhnlicher Raumdrehung, Boosttransformation und weiterer Raumdrehung zerlegt werden.
Der physikalische und erkenntnistheoretische Gehalt der physikalischen Gruppentheorien ist sehr tiefsinnig und trägt weiter als dieser mathematische Apparat anmutet: Während das Newtonsche Gesetz invariant unter Galilei-Transformationen ist und mit der Struktur der Galilei-Gruppe in Zusammenhang steht, wurde mit der Relativitätstheorie eine neue Gruppenstruktur gefunden: die Lorentzgruppe. Die Gesetze der Relativitätstheorie sind invariant unter Lorentz-Transformationen, man sagt auch verkürzend lorentzinvariant. Dies ist eine Folge des Relativitätsprinzips: Alle inertialen Beobachter sind äquivalent. (siehe auch Äquivalenzprinzip). Daneben steht das Kovarianzprinzip: Physikalische Gesetze sind forminvariant unter Lorentz-Transformationen. Daraus resultiert die notwendige mathematische Beschreibung mit Tensoren, also Gebilden, die in allen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben.

Poincarégruppe

Es gibt jedoch noch eine der Lorentzgruppe übergeordnete Gruppenstruktur, die Poincarégruppe.

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  • Die Autoren
- Dr. Andreas Müller, München

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