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Lexikon der Astronomie: partielle Ableitung

Schreibweisen der partiellen Ableitung und Definition in Anwendung auf einen kontravarianten Vektor Eine Differentialoperation, die es in der Mathematik in der Infinitesimalrechnung mehrerer Veränderlicher gibt und die auch in der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) und Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) auf Tensoren angewendet wird.

Anwendung auf Tensoren

Das Ergebnis der partiellen Ableitung eines Tensors ist kein Tensor mehr, wie man anhand der Transformationsgesetze eines Tensors nachweist! Man sagt daher:

Die partielle Ableitung ist nicht tensoriell.

Unterschied zur kovarianten Ableitung

Die partielle Ableitung ist immer mindestens in einem Term bei der kovarianten Ableitung enthalten. Die kovariante Ableitung eines Skalars (Tensor mit Typ (0,0)) ist identisch mit seiner partiellen Ableitung.

konkrete Berechnung

Praktisch geht man bei der partiellen Ableitung so vor, dass man die betreffende Größe wie gewohnt nach der Variable im Nenner ableitet, wobei alle anderen Variablen konstant gehalten werden.

Von der SRT zur ART: ∂μ → ∇μ

Die Gleichungen der SRT enthalten vielfach partielle Ableitungen. In der Regel kann man formal den Übergang zur ART vollziehen, indem man die partiellen Ableitungen (symbolisiert mit ∂) durch kovariante Ableitungen (symbolisiert mit ∇) ersetzt. Anhand der Definition der kovarianten Ableitung (siehe unter dem Eintrag dort) wird klar, warum das so ist: die kovariante Ableitung enthält neben der partiellen Ableitung einen weiteren Term, der von den Christoffel-Symbolen ('Ableitungen der Metrik') abhängt. In der SRT, die auf einer flachen Raumzeit, der Minkowski-Metrik, basiert, verschwinden gerade diese Christoffel-Symbole. In der gekrümmten Raumzeit der ART verschwinden sie nicht mehr und müssen berücksichtigt werden.

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  • Die Autoren
- Dr. Andreas Müller, München

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