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Lexikon der Astronomie: Wilson-Loop

Die Wilson-Loops, verkürzt auch einfach Loops genannt, sind Basiszustände, die zur Beschreibung von beliebigen Quantenzuständen in der Quantenchromodynamik (Yang-Mills-Theorie, SU(2)-Gruppe) und der Loop-Quantengravitation verwendet werden. Sie konstituieren den Hilbert-Raum, der gerade der Zustandsraum der jeweiligen Theorie ist, um die Eigenschaften eines Quantensystems zu beschreiben.

Warum Loop?

Die Bezeichnung Loop, dt. Schleifen, rührt daher, weil man in der Theorie einen (Parallel-)Transport physikalischer Größen entlang einer schleifenförmigen, geschlossen Bahn auf einer Metrik betrachtet. Der Operator, der diesen Transport bewerkstelligt, heißt Holonomie-Operator und erfüllt die Eigenschaften einer mathematischen Gruppe. Holonomie kennt man in der Teilchenphysik als Wu-Yang-Phasenfaktor, man kann dieses Konzept mit den Methoden der Mathematik (Funktionalanalysis, Differentialgeometrie, Gruppentheorie, Kategorietheorie) verallgemeinern.
Der Holonomie-Operator (wie die meisten Operatoren in der Quantentheorie) kann als Matrix dargestellt werden. Besonders relevant ist die Spur des Holonomie-Operators, also die Summe aller Werte auf der Matrixdiagonalen. Es zeigt sich, dass der Holonomie-Operator unverändert bleibt, wenn man lokale Eichtransformationen durchführt. Theoretiker stellen fest: Die Spur ist eichinvariant. Das führt zur Erhaltung der lokalen Eichsymmetrie. Hier gibt es den wesentlichen Anknüpfungspunkt zu den Eichtheorien: Denn die Eichtheorie kann dann durch ihre Holonomien dargestellt werden. Die Holonomien enthalten so die gesamte Information über die Dynamik der Theorie.

Es ist anzunehmen, dass alle Felder in der Natur (nicht nur Yang-Mills- und Gravitationsfeld) im Loop-Formalismus dargestellt werden können.

Geometrie als fundamentales Prinzip

Die Eichtheorien können so geometrisch interpretiert werden (Gambini & Trias, 1981 und 1986; Buch von Gambini & Pullin mit dem Titel Loops, Knots, Gauge Theories and Quantum Gravity, 2000).
In der Loop-Quantengravitation, die sogar nach den Loops benannt wurde, wurde später eine neue Basis gefunden, die mathematische Vorteile hat: die Spin-Netzwerke.

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  • Die Autoren
- Dr. Andreas Müller, München

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