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Lexikon der Chemie: Fermi-Dirac-Statistik

Fermi-Dirac-Statistik, Fermi-Statistik, Quantenstatistik für ein im Gleichgewicht befindliches System von Fermionen. In der klassischen Maxwell-Boltzmann-Statistik (Maxwell-Boltzmann-Verteilung) werden die Teilchen als unterscheidbar betrachtet, so daß durch Vertauschen von zwei gleichartigen Teilchen ein neuer Mikrozustand entsteht (Thermodynamik III). In der Quantenstatistik ist das nicht der Fall, da die Teilchen nicht unterscheidbar sind. Während aber in der Bose-Einstein-Statistik jeder Zustand mit beliebig vielen Teilchen aufgefüllt werden kann, darf er in der F. aufgrund der Gültigkeit des Pauli-Prinzips für Fermionen nur mit einem Partikel besetzt werden.

Für ein System aus Fermionen, die keine Wechselwirkungen aufeinander ausüben (ideales Fermi-Gas), folgt die Verteilungsfunktion N1 = g1/(e [E1-μ]/kT + 1). Dabei ist Ni die mittlere Zahl der Teilchen im Zustand i mit der Energie Ei, k die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur und μ das chem. Potential des Systems. gi ist das statistische Gewicht des Zustandes i, d. h. die Zahl der Zustände mit der gleichen Energie Ei.

Für hohe Energien gilt Ei – μ >> kT, so daß die Fermi-Dirac-Verteilung in eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung übergeht. Das System verhält sich wie ein klassisches ideales Gas. Ist diese Bedingung nicht erfüllt (vor allem bei tiefen Temperaturen), treten Abweichungen vom idealen Gas auf, die als Gasentartung bezeichnet werden. Im Grenzfall T = 0 besetzen die Teilchen nur die unteren Energieniveaus, diejenigen oberhalb des chem. Potentials bleiben leer (Fermi-Grenze, Fermi-Kante).

Von besonderer Bedeutung ist die Behandlung der Elektronen in Metallen und Halbleitern als ein Fermisches Elektronengas. Dieses ist bereits bei normalen Temperaturen stark entartet. Die F. liefert z. B. Aussagen über die spezifische Wärme von Metallen, die Elektronenemission von beheizten Metalldrähten oder die Bandstruktur von Halbleitern.

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