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Lexikon der Geographie: Regressionsanalyse

Regressionsanalyse, statistisches Verfahren zur Bestimmung der Form des (linearen) Zusammenhangs zwischen einer abhängigen Variablen Y und einer oder mehreren unabhängigen Variablen X 1, ..., X m. Die Regressionsanalyse steht in enger Beziehung zur Korrelationsanalyse, die den Grad (der Abhängigkeit) bestimmt. Für die in die Analyse eingehenden Variablen wird ein metrisches Skalenniveau benötigt, für Variablen mit kategorialem Skalenniveau lassen sich Verfahren der kategorialen Datenanalyse und der Varianzanalyse einsetzen. Zudem hat die Regressionsanalyse als statistisches Verfahren eine Reihe weiterer Anforderungen an die Variablen, wie z.B. Multinormalität. Je nachdem, ob eine oder mehrere Unabhängige vorhanden sind, spricht man von Einfachregression bzw. von multipler Regression (Mehrfachregression).
Einfachregression: Im Grundansatz wird nach einer linearen Funktion (=Gerade)
Y=a+bX
gesucht, die eine durch die y i- und x i-Werte erzeugte Punktwolke (Korrelogramm) ( Abb. ) optimal beschreibt. Als Verfahren verwendet man hierzu die Gauß'sche Methode der kleinsten Quadrate; diese bestimmt die Gerade so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen e i der Punkte von der Geraden minimiert wird. Die Abweichung e i wird als Residuum bezeichnet. Die Regressionskonstante a gibt den Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse an, der Regressionskoeffizient b ist die Steigung der Geraden und gibt an, um wie viel sich die Variable Y ändert, wenn X um eine Einheit anwächst. Die Güte der Anpassung der Geraden an die Punktwolke wird durch den Pearson'schen Korrelationskoeffizienten r bzw. durch das Bestimmtheitsmaß B gemessen (Korrelationsanalyse). B gibt an, wie viel von der Varianz der unabhängigen Variablen Y durch die Gerade und damit durch X erklärt wird.
Multiple Regression: Analog zum Verfahren in der Einfachregression wird eine lineare Funktion

Y=a+b 1X 1+b 2X 2+...+b mX m
bestimmt, wobei vorausgesetzt wird, dass die unabhängigen Variablen X i paarweise nicht miteinander korreliert sind. b i nennt man den partiellen Regressionskoeffizienten. Er gibt an, um wie viel sich die Unabhängige Y ändert, wenn X i um eine Einheit zunimmt (bei Konstanthaltung aller anderen Variablen X j). Häufig verwendet und von großem praktischen Wert ist die schrittweise multiple Regressionsanalyse. Hierbei gehen nicht alle Unabhängigen X i gleichzeitig in die zu bestimmende Gleichung ein, sondern es wird schrittweise jeweils eine weitere Variable X k in das Modell einbezogen und zwar immer diejenige, die für den größten Zuwachs an der noch nicht durch die vorhergehenden Variablen erklärten Varianz von Y verantwortlich ist.
Polynomiale Regressionsansätze der Form

Y=a 0+a 1X 1+a 2X 2+...+a kX k
werden als multiple Regressionsanalysen interpretiert mit X 1=X 1, ..., X k=X k. Nichtlineare Zusammenhänge können durch eine nichtlineare Regression modelliert werden. Hierzu wird in der Regel versucht den nichtlinearen Ansatz in einen linearen zu transformieren, um dann die Gleichung mithilfe der Gauß'schen Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen.

JN


Regressionsanalyse: Regressionsanalyse: Korrelogramm: Mittlere tägliche Verdunstung im Monat – Monatsmittel der Lufttemperatur.

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Grafik:
Mathias Niemeyer (Leitung)
Ulrike Lohoff-Erlenbach
Stephan Meyer

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