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Lexikon der Geowissenschaften: Antisymmetriegruppen

Antisymmetriegruppen, AS-Gruppen, dichromatische Gruppen, Schwarz-Weiß-Gruppen, Heesch-Shubnikov-Gruppen, Gruppen, die neben Symmetrie- auch Antisymmetrieoperationen enthalten. Antisymmetrieoperationen sind Abbildungen, die mit einer Operation verknüpft sind, welche die Vertauschung von zwei Eigenschaften (z.B. "Schwarz" und "Weiß" – im Folgenden als "Farben" angesprochen) bewirkt. In einer Antisymmetriegruppe bilden die farberhaltenden Operationen eine Untergruppe vom Index 2, während die farbvertauschenden Operationen die Elemente der Nebenklasse bilden. Antisymmetrieoperationen können für sich keine Gruppe bilden, denn das Produkt von zwei Antisymmetrieoperationen ist eine farberhaltende Operation. Um die Antisymmetriegruppen einer vorgegebenen Gruppe abzuleiten, hat man demnach deren Untergruppen vom Index 2 aufzusuchen. Die Elemente der jeweiligen Untergruppe sind dann mit den farberhaltenden und diejenigen der Nebenklasse mit den farbvertauschenden Operationen zu identifizieren.

Als Beipiel seien die Antisymmetriegruppen der Punktgruppe m

m
abgeleitet. Untergruppen mit der halben Anzahl von Elementen sind m

, 432 und

3m
. Werden die farbvertauschenden Operationen durch einen Apostroph kenntlich gemacht, dann schreiben sich die drei Antisymmetriegruppen als m

m'
, m'

'm'
und m'

'm
( Abb. ). Auf analoge Weise erhält man alle 58 Klassen von dreidimensionalen AS-Punktgruppen. Ein Beispiel für eine unendliche AS-Gruppe ist die Antisymmetriegruppe eines unendlich ausgedehnten Schachbrett-Musters. Ohne Berücksichtigung von Schwarz und Weiß ist p4mm die Ebenengruppe des Musters. Die farberhaltende Untergruppe vom Index 2 ist ebenfalls vom Typ p4mm, jedoch mit um den Faktor 2 ausgedünnten Translationen. Eine mögliche Bezeichnung für die Antisymmetriegruppe ist p'4mm.

Die 17 zweidimensionalen Raumgruppen (Ebenengruppen) liefern 46 und die 230 dreidimensionalen Raumgruppen 1191 Typen von Antisymmetriegruppen. Neben den Antisymmetriegruppen kennt man noch die sog. Graugruppen. Ein Beispiel für eine solche Graugruppe ist die von der Operation 3' erzeugte Gruppe der Ordnung 6. Bei einer zweifarbigen Darstellung fallen hier die verschiedenfarbigen Bereiche aufeinander. Im Beispiel ist das auch daraus ersichtlich, daß 3'3 = 1' ein Element der Gruppe ist. Diese Symmetrieoperation bewirkt eine Vertauschung der beiden Farben an jeder Stelle des Raumes. Bei der Erzeugung einer Graugruppe aus einer vorgegebenen Punktgruppe oder Raumgruppe kommt zu jeder bereits vorhandenen Operation noch die mit 1' verknüpfte Operation hinzu.

Bei der Aufzählung von Schwarz/Weiß-Gruppen werden zu den Antisymmetriegruppen zuweilen die einfarbigen Gruppen (d.h. die Gruppen ohne AS-Operationen) und die Graugruppen hinzugezählt. Dann ergeben sich 122 Klassen von kristallographischen Schwarz/Weiß-Punktgruppen, 80 Klassen (Typen) von Schwarz/Weiß-Ebenengruppen und 1651 Klassen (Typen) von Schwarz/Weiß-Raumgruppen. Die letztgenannten Gruppen heißen auch Shubnikov-Gruppen, nach dem russischen Kristallographen, der sie als erster abgeleitet hat.

Die Einteilung aller dieser Gruppen in Klassen bzw. Typen erfolgt nach den gleichen Prinzipien wie bei den gewöhnlichen, d.h. farberhaltenden Symmetriegruppen. Die Eigenschaften, die der Dichotomie "Schwarz-Weiß" entsprechen, können geometrischer oder physikalischer Art sein oder einfach Farbenpaare, wie bei vielen dekorativen zweifarbigen Darstellungen. In einer geometrischen Deutung lassen sich die zweidimensionalen Schwarz/Weiß-Raumgruppen als zweiseitige Ebenengruppen interpretieren, indem man die Vertauschung der Farben mit der Vertauschung von Oberseite und Unterseite der betreffenden Ebene identifiziert.

Shubnikov-Gruppen finden Anwendung bei der Charakterisierung von antiferromagnetischen Kristallstrukturen. Hier beschreibt die Antisymmetrieoperation eine Umkehrung der magnetischen Momente der Atome, die entweder parallel oder antiparallel zu einer bestimmten Richtung orientiert sind. [WEK]

Literatur: [1] LOCKWOOD, E. H. und MACMILLAN, R. H. (1978): Geometric Symmetry. - Cambridge. [2] SHUBNIKOV, A. V., BELOV, N. V. u.a. (1964): Colored Symmetry. - Oxford.


Antisymmetriegruppen: Hexacisoktaeder mit AS-Symmetrien m

m'
(a), m'

'm'
(b) und m'

'm
(c). Antisymmetriegruppen:

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