Atomstreufaktor, Atomformfaktor, beschreibt Amplitude und relative Phasenänderung der an einem Atom gestreuten Röntgen-, Neutronen- oder Elektronenwelle. Er ist die Fouriertransformierte der betreffenden atomaren Streudichte, d.h. der Elektronendichte für Röntgenstrahlung, der Kerndichte für Neutronen (magnetische Streuung ausgeschlossen) und des elektrostatischen Potentials von Kern und Elektronenhülle für Elektronen.

a) Atomstreufaktor für Elektronen: Die Streuung von Elektronen in Materie beruht auf ihrer Wechselwirkung mit dem elektrostatischen Potential des Atomkerns und der Elektronenhülle. Der atomare Streufaktor für Elektronen hat deshalb einen nuklaren und einen elektronischen Anteil. Während der Kern für den üblichen Wellenlängenbereich um 0,1-1 Å wie eine Deltafunktion wirkt, muß die räumliche Verteilung der Elektronenhülle explizit berücksichtigt werden. Unter der Annahme einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ρ_e und eines punktförmigen Streuers ρ_k erhält man eine direkte Beziehung zwischen dem Atomstreufaktor für Röntgenstrahlung f_x und dem Beitrag f_e zum Atomformfaktor für Elektronen (Mott-Gleichung):

(S = 2sinθ/λ). In Tabellenwerken ist meist nicht dieses f_e tabelliert, sondern

(f_e^B in Å; f_x in Elektronen). Für sinθ/λ→0 wird die Mott-Gleichung sehr ungenau; f_e^B (S = 0) läßt sich dann besser durch Integration über das elektrostatische Potential des Atoms erhalten. Die Streulänge für Elektronen (ca. 10^-8 cm) ist wesentlich größer als die für Röntgenstrahlung (ca. 10^-12 cm); sie hängt jedoch weniger stark von der Ordnungszahl Z ab: f_e(0)∝ Z^1/3. Der Formfaktor für Elektronenstreuung fällt – wegen der Wichtung mit 1/S² – rascher als der für Röntgenstrahlen mit zunehmendem sinθ/λ ab.

b) Atomstreufaktor für Neutronen: Neutronen haben einen Spin 1/2 und ein magnetisches Moment von 1,9132 Kernmagnetonen. Die Streuung von Neutronen in Materie beruht zum einen auf der Wechselwirkung mit den Atomkernen, zum anderen treten Neutronen auch mit ungepaarten Elektronen der Valenzschale, die ein permanentes magnetisches Moment besitzen, in Wechselwirkung. Der Kern (10^-15 cm Durchmesser) wirkt für thermische Neutronen mit Wellenlängen um 1 Å = 10^-8 cm als Punktstreuer. Seine Streulänge b₀ ist isotrop und unabhängig vom Streuwinkel. Neutronenstreulängen liegen im Bereich um 10-12 cm, vergleichbar der Streulänge von Röntgenphotonen an Elektronen. Bei der Wechselwirkung Neutron-Kern kann es zu Resonanzen kommen, so daß b = b₀-b'+ib'' auch negativ werden kann. Wichtigstes Beispiel für ein Isotop mit negativer Streulänge ist ¹H. Der Drehimpuls I des Kerns kann mit dem Spin des eingefangenen Neutrons in paralleler oder in antiparalleler Weise zu einem Gesamtspin J = I+1/2 oder J = I-1/2 kombinieren, entsprechend zwei verschiedenen Streulängen b₊ und b_-. Ein reines Isotop kann als Mischung beider Zustände mit jeweils der Häufigkeit w₊ und w_- aufgefaßt werden, mit einer kohärenten Streulänge b = w₊b₊+w_-b_-. Diese Spininkohärenz hat einen gleichmäßigen, inkohärenten Streuuntergrund zur Folge. Für Wasserstoff, ¹H, dessen Streuung weitgehend inkohärent ist (I = 1/2; b₊ = 1,04·10^-12 cm, b_- = -4,7·10^-12 cm; w₊ = 0,75, w_- = 0,25 und b = -0,39·10^-12 cm), ist dieser parasitäre Untergrund besonders störend. Dieses Problem tritt nicht auf für Deuterium, ²H, weshalb wasserstoffhaltige Substanzen für Neutronenbeugungsexperimente gerne deuteriert werden. Chemische Elemente bestehen aus einem Isotopengemisch, das in einer Kristallstruktur über die besetzte Punktlage statistisch verteilt ist; die resultierende Streulänge ist ein mit der Häufigkeit gewichtetes Mittel über die einzelnen Isotope: b = Σw_ib_i.

Neutronenstreulängen hängen fast nicht von der Ordnungszahl ab; verschiedene Isotope ein und desselben Elements können gänzlich verschiedene Streulängen haben (wie z.B. ¹H und ²H). Ungepaarte Elektronen der Valenzschale, die ein magnetisches Moment besitzen, treten mit dem Spin des Neutrons in Wechselwirkung. Diese Wechselwirkung mit der Elektronenhülle ähnelt in ihrem sinθ/λ-Verlauf dem Atomstreufaktor für Röntgenstrahlung, enthält allerdings nur den Beitrag ungepaarter Elektronen. Die magnetische Streuintensität liegt in der selben Größenordnung wie der Streubeitrag von den Kernen. Kernstreuung und magnetische Streuung sind unkorreliert und deshalb additiv:

(α: Winkel zwischen Elektronenspin und Streuvektor

). Mit unpolarisierten Elektronen beobachtet man ein räumliches Mittel über alle Orientierungen. Mit polarisierten Neutronen kann man gezielt den Spin auf einzelne Streuvektoren projizieren und durch Messung mit zwei entgegengesetzten Polarisationsrichtungen der Neutronen ("Spinflip") die magnetische Komponente von der Kernstreuung abtrennen.

c) Atomstreufaktor für Röntgenstrahlung: Elastische Röntgenstreuung in Materie erfolgt hauptsächlich durch Wechselwirkung mit Elektronen, der Kernbeitrag ist vernachlässigbar. In der klassischen Vorstellung bewirken elektromagnetische Wellen eine erzwungene Schwingung der Elektronen in der Richtung des einfallenden elektrischen Feldes

₀, was zu einer Emission elektromagnetischer Strahlung der gleichen Energie führt (Hertzscher Dipol). Vernachlässigt man Dämpfung und Resonanzeffekte, dann folgt nach Thomson für das an einem freien punktförmigen Elektron ("Thomsonstreuer") elastisch gestreute elektrische Feld und dessen Intensität (r_e = 2,8·10^-12 cm; R = Abstand):

wobei der Polarisationsfaktor cos²2θ die räumliche Verteilung der vom Hertzschen Dipol emittierten Intensität berücksichtigt. Für eine ausgedehnte Elektronendichteverteilung ρ (

) müssen Gangunterschiede zwischen einzelnen Volumenelementen dV berücksichtigt werden:

= (

-

₀)/λ ist der Streuvektor (der Länge 2sinθ/λ), der den Impulsübertrag zwischen einfallendem Strahl (Richtung

₀) und gestreutem Strahl (Richtung

) beschreibt. Das Integral über die gesamte Elektronendichte eines Atoms

nennt man den Atomformfaktor des Atoms. Dieser ist die Fouriertransformierte der atomaren Elektronendichte ρ_a(

), normiert auf die Streuamplitude eines freien, punktförmigen Elektrons. Er ist unabhängig von der Photonenenergie, aber abhängig vom Steuwinkel. Für den Streuwinkel 2θ = 0^o (Vorwärtstreuung) ist f₀ gleich der Elektronenzahl des betreffenden Atoms. Für die kugelsymmetrische Ladungsverteilung eines freien Atoms vereinfacht sich das Fourierintegral zu

Es läßt sich durch Einsetzen geeigneter Wellenfunktionen explizit berechnen.

Gebundene Elektronen zeigen – im Unterschied zu freien Elektronen – von der Photonenenergie abhängige Resonanzphänomene, die Absorption und anomale Dispersion verursachen und zu einem komplexen Atomformfaktor

führen, der zusätzlich die energieabhängigen Dispersionskorrekturen f' und f'' enthält. Diese Korrekturterme sind normalerweise klein, zeigen aber an Röntgenabsorptionskanten sprunghafte Änderungen und liegen dort in der Größe einiger Elektronen.

Der komplexe Atomformfaktor f(ω) steht in direktem Zusammenhang mit den optischen Materialkonstanten. Der Brechungsindex N im Röntgenbereich ist ebenfalls eine komplexe Größe, die direkt von f' und f'' abhängt (r_e = klassischer Elektronenradius (r_e = 2,8·10^-12 cm); N_j = Teilchenzahldichte):

Der Brechungsindex weicht im Röntgenbereich nur wenig von |N| = 1 ab; δ ≈ 10^-5,β ≈ 10^-6.

Das Optische Theorem verbindet f'' mit dem linearen Absorptionskoeffizienten für Röntgenstrahlung:

Absorptionskoeffizienten für Röntgenstrahlung liegen bei 100 bis 1000 cm^-1; sie wachsen mit der dritten Potenz der Wellenlänge und zeigen analog zu f'' sprunghafte Änderungen im Bereich der K- und L-Absorptionskanten (anomale Dispersion).

Der Realteil f' ist mit dem Imaginärteil f'' durch eine Kramers-Kronig-Transformation verknüpft:

[EH]