Direkt zum Inhalt

Lexikon der Geowissenschaften: elastische Eigenschaften

elastische Eigenschaften, stellen eine Beziehung zwischen der durch eine mechanische Spannung verursachten Verformung (Sijkl, elastische Module) bzw. zwischen der Verformung und der daraus resultierenden mechanischen Spannung (Cijkl, elastische Konstanten) her. Die durch einen Tensor vierter Stufe beschriebenen elastischen Eigenschaften gelten nur für den Fall, daß mechanische Spannung und elastische Verformung zueinander proportional sind (Hookesches Gesetz). Außerhalb der Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes sind für die Beschreibung der elastischen Eigenschaften Tensoren höherer Ordnung (6. Stufe, 8. Stufe,...) notwendig ( Abb. 1 ). Die maximal 36 unabhängigen Koeffizienten des s- und c-Tensors reduzieren sich für isotrope Festkörper auf zwei und werden durch verschiedene elastische Module und elastische Konstanten beschrieben ( Tab. 1 ). Sind zwei unabhängige elastische Eigenschaften eines isotropen Festkörpers bestimmt, lassen sich die anderen elastischen Größen mathematisch ableiten ( Tab. 2 ).

Die elastischen Größen lassen sich aus statischen Experimenten bestimmen. Meßtechnisch sind die aus entsprechenden Experimenten gewonnen elastischen Größen mit einem relativ großen Fehler behaftet. Die Untersuchung der elastischen Eigenschaften erfolgt deshalb heute überwiegend mit dynamischen Methoden (Schallgeschwindigkeiten, Brillouin-Spektroskopie). In anisotropen Festkörpern werden zur vollständigen Beschreibung der elastischen Eigenschaften bis zu 21 unabhängige Komponenten benötigt. Der entsprechende Tensor vierter Stufe läßt sich im zweidimensionalen nur unbefriedigend darstellen (3×3×3×3-Matrix). Voigt (1928) schlug deshalb die heute verbreitete Darstellung der elastischen Eigenschaften in einer 6×6-Matrix vor. Mit den Umrechnungsvorschriften können die Tensorkomponenten cijkl (sijkl) und Matrixkomponenten Cij (Sij) umgewandelt werden. Die resultierenden Matrizen sind symmetrisch und es gilt Cij = Cji bzw. Sij = Sji ( Tab. 3 ).

Eine Schallwelle pflanzt sich durch die Deformation einzelner Bereiche in einem Festkörper fort. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit hängt von den elastischen Eigenschaften und der Dichte ρ des Körpers ab. Für isotrope Festkörper werden zwei unterschiedliche Schallgeschwindigkeiten beobachtet, eine longitudinale und eine transversale Schallwelle (seismische Wellen). Im isotropen Medium sind bei Kompressionswellen (longitudinale Schallwellen) Ausbreitungsrichtung und Verzerrungsvektor parallel zueinander, während bei einer Scherwelle (transversale Welle) Ausbreitungsrichtung und Verzerrungsvektor in einem Winkel von 90° zueinander stehen. Scherwellen sind demnach polarisierte Schallwellen, während die longitudinalen Schallwellen nicht polarisiert sind. Für isotrope Festkörper lassen sich die Schallgeschwindigkeiten, aus den elastischen Eigenschaften und der Dichte, gemäß folgender Beziehungen berechnen (Gebrande):





Für anisotrope Festkörper können die elastischen Eigenschaften ebenfalls aus Messungen der Schallgeschwindigkeiten bestimmt werden. Aus den elastodynamischen Grundgleichungen folgt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit v einer Schallwelle (ebene Welle) unter Annahme der Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes:

v2δik+cijklgjglk = 0.

Trifft eine Scherwelle auf einen anisotropen Körper, so werden im allgemeinen Fall – wenn die Polarität der eingestrahlten Schallwelle keinen Bezug zu den Polarisationsrichtungen des Festkörpers in dieser Richtung hat – zwei Scherwellen mit unterschiedlicher Schallgeschwindigkeit den Körper durchschallen (ähnlich der optischen Doppelbrechung). In Abbildung 2 ist die Aufspaltung einer Schallwelle (shear-wave-splitting) dargestellt. In ausgezeichneten Richtungen und in isotropen Medien werden nur zwei Schallwellen (Entartung) beobachtet (vP und vs). In Festkörpern werden mindestens zwei Schallwellen beobachtet.

Je nach Kristallklasse müssen bis zu 36 verschiedene Koeffizienten bestimmt werden, um die elastischen Eigenschaften vollständig zu beschreiben. In vielen Kristallklassen reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten. Die elastischen Eigenschaften eines Kristalls können als Ergebnis der Wechselwirkungen (Bindungen) von Atomen betrachtet werden. Für die Beschreibung der Bindungsverhältnisse reicht im Bereich der Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes die Annahme eines Potentials aus, welches durch eine quadratische lineare Gleichung beschrieben wird. Bei größeren mechanischen Spannungen, Druck- oder Temperaturänderungen müssen für die Beschreibung der beobachteten elastischen Eigenschaften die Asymmetrie des Potentials berücksichtigt werden. Die elastischen Eigenschaften werden damit vom Druck und der Temperatur abhängig. Die Druckabhängigkeit des Kompressionsmoduls K wird oft über eine Birch-Murnaghan-Gleichung beschrieben:



wobei K0, KP0' und KP0'' Konstanten darstellen. Eine entsprechende Reihenentwicklung kann auch für die Temperaturabhängigkeit verwendet werden:



mit den Kostanten K0, KT0' und KT0''. Ähnliche Reihenentwicklungen können auch für die anderen Module angewandt werden. Die aus den elastischen Eigenschaften abgeleiteten Schallgeschwindigkeiten zeigen ein ähnliches Verhalten ( Abb. 3 ). Druck und Temperatur wirken auf die Schallgeschwindigkeiten in entgegengesetzter Richtung. Führt eine Druckzunahme zu einer Erhöhung der Schallgeschwindigkeit, so führt eine Erwärmung der Minerale zu einer Geschwindigkeitserniedrigung. Eine Ausnahme stellt dabei die S-Wellengeschwindigkeit von Quarz dar. Die bei Mineralen beobachtete Änderung der elastischen Module mit der Temperatur führt bei Gesteinen auch zu einer Abnahme der intrinsischen Schallgeschwindigkeiten ( Abb. 5 ). Werden Gesteinseigenschaften bei höheren Drücken und Temperaturen untersucht, muß der Einfluß des Gefüges und des Mikrogefüges auf die elastischen Eigenschaften berücksichtigt werden. So ändert sich das elastische Verhalten (Schallgeschwindigkeit) von Gesteinen durch das Schließen von Mikrorissen und Poren (Porenraum) oft deutlich ( Abb. 4 ).

Die meisten Gesteine zeigen eine Zunahme der Schallgeschwindigkeiten mit der Dichte. Auch innerhalb einzelner Gesteinsarten (z.B. Sandsteine) wird eine Zunahme der Schallgeschwindigkeit mit der Dichte beobachtet. Oft wird eine Dichte-Geschwindigkeits-Relation – auch Birch-Law genannt – zur Interpretation seismischer Beobachtungen verwendet. Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Dichte ist in Abb. 6 schematisch dargestellt. Für detailierte Studien muß die Porosität, das Gefüge, der Druck und die Temperatur sowie die chemische Zusammensetzung der Gesteine berücksichtigt werden (Petrophysik, Mineralphysik).


elastische Eigenschaften 1: Hookesches Gesetz: linearer Zusammenhang zwischen mechanischer Spannung σ und Deformation ε (Dehnungsexperiment). elastische Eigenschaften 1:

elastische Eigenschaften 2: Aufspaltung einer Scherwelle beim Eintritt in einen anisotropen Festkörper (shear-wave-splitting). elastische Eigenschaften 2:

elastische Eigenschaften 3: Änderung der mittleren Schallgeschwindigkeiten von Mineralen mit dem Druck. Die P-Wellen-Geschwindigkeiten sind durch Kreise, die S-Wellen-Geschwindigkeiten durch Rechtecke dargestellt. elastische Eigenschaften 3:

elastische Eigenschaften 4: Änderung der elastischen Module mit der Temperatur für einen Grossular (Granat). elastische Eigenschaften 4:

elastische Eigenschaften 5: Schallgeschwindigkeiten als Funktion des Druckes für Gesteine (quadratische Symbole repräsentieren gemessene P-, runde Symbole S-Wellen-Geschwindigkeiten; die durchgezogenen Geraden deuten das intrinsische Verhalten an, welches durch die Änderung der Schallgeschwindigkeit der Minerale verursacht wird). elastische Eigenschaften 5:

elastische Eigenschaften 6: schematische Darstellung der Änderung der Geschwindigkeit mit der Dichte für einige Gesteine. elastische Eigenschaften 6:

elastische Eigenschaften (Tab. 1): elastische Module und Konstanten zur Beschreibung des elastischen Verhaltens isotroper Körper. elastische Eigenschaften (Tab. 1):

elastische Eigenschaften (Tab. 2): Verknüpfungen zwischen verschiedenen elastischen Größen für isotrope Medien. elastische Eigenschaften (Tab. 2):

elastische Eigenschaften (Tab. 3): Umrechnung eines s- bzw. c-Tensors in eine Matrix. elastische Eigenschaften (Tab. 3):

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
Redaktion

Landscape GmbH
Dipl.-Geogr. Christiane Martin
Nicole Bischof
Dipl.-Geol. Manfred Eiblmaier

Fachberater

Allgemeine Geologie
Prof. Dr. V. Jacobshagen, Berlin

Angewandte Geologie
Prof. Dr. H. Hötzl, Karlsruhe

Bodenkunde
Prof. Dr. H.-R. Bork, Potsdam

Fernerkundung
Prof. Dr. phil. M. Buchroithner, Dresden

Geochemie
Prof. Dr. W. Altermann, München

Geodäsie
Prof. Dr. K.-H. Ilk, Bonn

Geomorphologie
Prof. Dr. W. Andres, Frankfurt / Main

Geophysik
Prof. Dr. P. Giese, Berlin

Historische Geologie
Prof. Dr. H.-G. Herbig, Köln

Hydrologie
Prof. Dr. H.-J. Liebscher, Koblenz

Kartographie
Prof. Dr. W.G. Koch, Dresden

Klimatologie
Prof. Dr. Ch.-D. Schönwiese, Frankfurt / Main

Kristallographie
Prof. Dr. K. Hümmer, Karlsruhe

Landschaftsökologie
Dr. D. Schaub, Aarau, Schweiz

Meteorologie
Prof. Dr. G. Groß, Hannover

Mineralogie
Prof. Dr. G. Strübel, Gießen

Ozeanographie
Prof. Dr. J. Meincke, Hamburg

Petrologie
Dr. R. Hollerbach, Köln

Autoren

Allgemeine Geologie
Dipl.-Geol. D. Adelmann, Berlin
Dr. Ch. Breitkreuz, Berlin
Prof. Dr. M. Durand Delga, Avon, Frankreich
Dipl.-Geol. K. Fiedler, Berlin
Prof. Dr. V. Jacobshagen, Berlin
Dr. W. Jaritz, Burgwedel
Prof. Dr. H. Kallenbach, Berlin
Dr. J. Kley, Karlsruhe
Prof. Dr. M. Lemoine, Marli-le-Roi, Frankreich
Prof. Dr. J. Liedholz, Berlin
Prof. Dr. B. Meißner, Berlin
Dr. D. Mertmann, Berlin
Dipl.-Geol. J. Müller, Berlin
Prof. Dr. C.-D. Reuther, Hamburg
Prof. Dr. K.-J. Reutter, Berlin
Dr. E. Scheuber, Berlin
Prof. Dr. E. Wallbrecher, Graz
Dr. Gernold Zulauf, Frankfurt

Angewandte Geologie
Dr. A. Bohleber, Karlsruhe
Dipl.-Geol. W. Breh, Karlsruhe
Prof. Dr. K. Czurda, Karlsruhe
Dr. M. Eiswirth, Karlsruhe
Dipl.-Geol. T. Fauser, Karlsruhe
Prof. Dr.-Ing. E. Fecker, Karlsruhe
Prof. Dr. H. Hötzl, Karlsruhe
Dipl.-Geol. W. Kassebeer, Karlsruhe
Dipl.-Geol. A. Kienzle, Karlsruhe
Dipl.-Geol. B. Krauthausen, Berg / Pfalz
Dipl.-Geol. T. Liesch, Karlsruhe
R. Ohlenbusch, Karlsruhe
Dr. K. E. Roehl, Karlsruhe
Dipl.-Geol. S. Rogge, Karlsruhe
Dr. J. Rohn, Karlsruhe
Dipl.-Geol. E. Ruckert, Karlsruhe
Dr. C. Schnatmeyer, Trier
Dipl.-Geol. N. Umlauf, Karlsruhe
Dr. A. Wefer-Roehl, Karlsruhe
K. Witthüser, Karlsruhe
Dipl.-Geol. R. Zorn, Karlsruhe

Bodenkunde
Dr. J. Augustin, Müncheberg
Dr. A. Behrendt, Müncheberg
Dipl.-Ing. agr. U. Behrendt, Müncheberg
Prof. Dr. Dr. H.-P. Blume, Kiel
Prof. Dr. H.-R. Bork, Potsdam
Dr. C. Dalchow, Müncheberg
Dr. D. Deumlich, Müncheberg
Dipl.-Geoök. M. Dotterweich, Potsdam
Dr. R. Ellerbrock, Müncheberg
Prof. Dr. M. Frielinghaus, Müncheberg
Dr. R. Funk, Müncheberg
Dipl.-Ing. K. Geldmacher, Potsdam
Dr. H. Gerke, Müncheberg
Dr. K. Helming, Müncheberg
Dr. W. Hierold, Müncheberg
Dr. A. Höhn, Müncheberg
Dr. M. Joschko, Müncheberg
Dr. K.-Ch. Kersebaum
Dr. S. Koszinski, Müncheberg
Dr. P. Lentzsch, Müncheberg
Dr. L. Müller, Müncheberg
Dr. M. Müller, Müncheberg
Dr. T. Müller, Müncheberg
Dr. B. Münzenberger, Müncheberg
Dr. H.-P. Pior, Müncheberg
Dr. H. Rogasik, Müncheberg
Dr. U. Schindler, Müncheberg
Dipl.-Geoök. G. Schmittchen, Potsdam
Dr. W. Seyfarth, Müncheberg
Dr. M. Tauschke, Müncheberg
Dr. A. Ulrich, Müncheberg
Dr. O. Wendroth, Müncheberg
Dr. St. Wirth, Müncheberg

Fernerkundung
Prof. Dr. phil. M. Buchroithner, Dresden
Prof. Dr. E. Csaplovics, Dresden
Prof. Dr. C. Gläßer, Halle
Dr. G. Meinel, Dresden
Dr. M. Netzband, Dresden
Prof. Dr. H. Will, Halle

Geochemie
Prof. Dr. A. Altenbach, München
Prof. Dr. W. Altermann, München
Dr. St. Becker, Wiesbaden
Dr. A. Hehn-Wohnlich, Ottobrunn
P.D. Dr. St. Höltzl, München
Dr. M. Kölbl-Ebert, München
Dr. Th. Kunzmann, München
Prof. Dr. W. Loske, München
Dipl.-Geol. A. Murr, München
Dr. T. Rüde, München

Geodäsie
Dr.-Ing. G. Boedecker, München
Dr. W. Bosch, München
Dr. E. Buschmann, Potsdam
Prof. Dr. H. Drewes, München
Dr. D. Egger, München
Prof. Dr. B. Heck, Karlsruhe
Prof. Dr. K.-H. Ilk, Bonn
Dr. J. Müller, München
Dr. A. Nothnagel, Bonn
Prof. Dr. D. Reinhard, Dresden
Dr. Mirko Scheinert, Dresden
Dr. W. Schlüter, Wetzell
Dr. H. Schuh, München
Prof. Dr. G. Seeber, Hannover
Prof. Dr. M. H. Soffel, Dresden

Geomorphologie
Dipl. Geogr. K.D. Albert, Frankfurt / Main
Prof. Dr. W. Andres, Frankfurt / Main
Dipl. Geogr. P. Houben, Frankfurt / Main
Dr. K.-M. Moldenhauer, Frankfurt / Main
Dr. P. Müller-Haude, Frankfurt / Main
Dipl. Geogr. S. Nolte, Frankfurt / Main
Dr. H. Riedel, Wetter
Dr. J. B. Ries, Frankfurt / Main

Geophysik
Dr. G. Bock, Potsdam
Dr. H. Brasse, Berlin
Prof. Dr. P. Giese, Berlin
Prof. Dr. V. Haak, Potsdam
Prof. Dr. E. Hurtig, Potsdam
Prof. Dr. R. Meißner, Kiel
Prof. Dr. K. Millahn, Leoben, Österreich
Dr. F. R. Schilling, Potsdam
Prof. Dr. H. C. Soffel, München
Dr. W. Webers, Potsdam
Prof. Dr. J. Wohlenberg, Aachen

Geowissenschaft
Prof. Dr. J. Negendank, Potsdam

Historische Geologie / Paläontologie
Prof. Dr. W. Altermann, München
Dr. R. Becker-Haumann, Köln
Dr. R. Below, Köln
Dr. M. Bernecker, Erlangen
Dr. M. Bertling, Münster
Prof. Dr. W. Boenigk, Köln
Dr. A. Clausing, Halle
Dr. M. Grigo, Köln
Dr. K. Grimm, Mainz
Prof. Dr. Gursky, Clausthal-Zellerfeld
Dipl.-Geol. E. Haaß, Köln
Prof. Dr. H.-G. Herbig, Köln
Dr. I. Hinz-Schallreuther, Berlin
Dr. D. Kalthoff, Bonn
Prof. Dr. W. von Königswald, Bonn
Dr. habil R. Kohring, Berlin
E. Minwegen, Köln
Dr. F. Neuweiler, Göttingen
Dr. S. Noé, Köln
Dr. S Nöth, Köln
Prof. Dr. K. Oekentorp, Münster
Dr. S. Pohler, Köln
Dr. B. Reicherbacher, Karlsruhe
Dr. H. Tragelehn, Köln
Dr. S. Voigt, Köln
Dr. H. Wopfner, Köln

Hydrologie
Dr. H. Bergmann, Koblenz
Prof. Dr. K. Hofius, Boppard
Prof. Dr. H.-J. Liebscher, Koblenz
Dr. E. Wildenhahn, Vallendar
Dr. M. Wunderlich, Brey

Kartographie
Prof. Dr. J. Bollmann, Trier
Dipl. Geogr. T. Bräuninger, Trier
Prof. Dr. phil. M. Buchroithner, Dresden
Dr. G. Buziek, Hannover
Prof. Dr. W. Denk, Karlsruhe
Dr. D. Dransch, Berlin
Dipl. Geogr. H. Faby, Trier
Dr. K. Großer, Leipzig
Dipl. Geogr. F. Heidmann, Trier
Prof. Dr. K.-H. Klein, Wuppertal
Prof. Dr. W. Koch, Dresden
Prof. Dr. S. Meier, Dresden
Dipl. Geogr. A. Müller, Trier
Prof. Dr. J. Neumann, Karlsruhe
Prof. Dr. K. Regensburger, Dresden
Dipl.-Ing. Ch. Rülke, Dresden
Dr. W. Stams, Dresden
Prof. Dr. K.-G. Steinert, Dresden
Dr. P. Tainz, Trier
Dr. A.-D. Uthe, Berlin
Dipl. Geogr. W. Weber, Trier
Prof. Dr. I. Wilfert, Dresden
Dipl.-Ing. D. Wolff, Wuppertal

Kristallographie
Dr. K. Eichhorn, Karlsruhe
Prof. Dr. K. Hümmer, Karlsruhe
Prof. Dr. W. E. Klee, Karlsruhe
Dr. G. Müller-Vogt, Karlsruhe
Dr. E. Weckert, Karlsruhe
Prof. Dr. H.W. Zimmermann, Erlangen

Lagerstättenkunde
Dr. W. Hirdes, D-53113 Bonn
Prof. Dr. H. Flick, Marktoberdorf
Dr. T. Kirnbauer, Wiesbaden
Prof. Dr. W. Proschaska, Leoben, Österreich
Prof. Dr. E. F. Stumpfl, Leoben, Österreich
Prof. Dr. Thalhammer, Leoben, Österreich

Landschaftsökologie
Dipl. Geogr. St. Meier-Zielinski, Basel, Schweiz
Dipl. Geogr. S. Rolli, Basel, Schweiz
Dr. D. Rüetschi, Basel, Schweiz
Dr. D. Schaub, Frick, Schweiz
Dipl. Geogr. M. Schmid, Basel, Schweiz

Meteorologie und Klimatologie
Dipl. Met. K. Balzer, Potsdam
Dipl.-Met. W. Benesch, Offenbach
Prof. Dr. D. Etling, Hannover
Dr. U. Finke, Hannover
Prof. Dr. H. Fischer, Karlsruhe
Prof. Dr. M. Geb, Berlin
Prof. Dr. G. Groß, Hannover
Prof. Dr. Th. Hauf, Hannover
Dr. habil. D. Heimann,
Oberpfaffenhofen / Weßling
Dr. C. Lüdecke, München
Dipl. Met. H. Neumeister, Potsdam
Prof. Dr. H. Quenzel, München
Prof. Dr. U. Schmidt, Frankfurt / Main
Prof. Dr. Ch.-D. Schönwiese, Frankfurt / Main
Prof. Dr. W. Wehry, Berlin

Mineralogie
Prof. Dr. G. Strübel, Gießen

Ozeanographie
Prof. Dr. W. Alpers, Hamburg
Dr. H. Eicken, Fairbanks, Alaska, USA
Dr. H.-H. Essen, Hamburg
Dr. E. Fahrbach, Bremerhaven
Dr. K. Kremling, Kiel
Prof. Dr. J. Meincke, Hamburg
Dr. Th. Pohlmann, Hamburg
Prof. Dr. W. Zahel, Hamburg

Petrologie
Dr. T. Gayk, Köln
Dr. R. Hollerbach, Köln
Dr. R. Kleinschrodt, Köln
Dr. R. Klemd, Bremen
Dr. M. Schliestedt, Hannover
Prof. Dr. H.-G. Stosch, Karlsruhe

Partnervideos