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Lexikon der Geowissenschaften: Ewald-Konstruktion

Ewald-Konstruktion, Konstruktion im reziproken Ortsraum (Einheiten: 1/m) zur geometrischen Lösung der Braggschen Gleichung. Schreibt man die Braggsche Gleichung in der Form:



(θ = halber Beugungswinkel, λ = Wellenlänge, n = Beugungsordnung, dh'k'l' = Abstand der Netzebenen des Kristallgitters mit den Millerschen Indizes h'k'l'), so stellt die linke Seite der Gleichung die Bedingung für elastische Streuung dar, d.h. die Endpunkte der Wellenvektoren der einfallenden Welle

0 und der gestreuten Welle

h liegen auf einer Kugel mit dem Radius |

0| = |

h| = 1/λ (Ewald-Kugel, Ausbreitungskugel), wie aus dem gleichschenkligen Dreieck M0P der Abb. hervorgeht. Der Mittelpunkt der Kugel M ist der Fußpunkt von

0 bzw.

h. Die rechte Seite der Gleichung stellt das reziproke Gitter dar, da man n/dh'k'l' als ganzzahliges Vielfaches der Beträge der Vektoren des reziproken Gitters



die senkrecht auf den entsprechenden Netzebenen stehen, interpretieren darf. Der Ursprung 0, von dem die Vektoren des reziproken Gitters aus abgetragen werden, ist der Endpunkt von

0, da nach den Laue-Gleichungen h = 0, k = 0, l = 0, d.h.

=

, sich immer eine Lösung darstellt, nämlich den immer auftretenden, nicht abgebeugten Strahl nullter Ordnung.

Weitere Lösungen gibt es, wenn weitere Vektoren des reziproken Gitters auf der Ewald-Kugel enden, d.h. wenn die Ewald-Kugel weitere Punkte P des reziproken Gitters schneidet. Dann ist durch geometrische Konstruktion sichergestellt, daß die linke und rechte Seite der obigen Braggschen Beziehung gleich sind. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, daß der Differenzvektor

0-

h =

zur Entstehung eines Beugungsmaximums (Braggreflexes) ein Vektor des reziproken Gitters sein muß. Mit Hilfe der Ewald-Konstruktion kann man auch sofort ermitteln, welche Braggreflexe bei einer vorgegebenen Wellenlänge beobachtbar sind. Es können nämlich nur diejenigen Punkte des reziproken Gitters auf der Ewald-Kugel liegen, die innerhalb einer Grenzkugel um den Ursprung des reziproken Gitters mit dem Radius 2/λ liegen. [KH]


Ewald-Konstruktion: geometrische Lösung für den Vektor des reziproken Gitters:

= -1

*-3

*+1

*, also für den Braggreflex (hkl) = (-1 -3 1) (θ = halber Beugungswinkel, λ = Wellenlänge, S0 = einfallende Welle, Sh = gestreute Welle; Punkte M0P stellen ein gleichschenkliges Dreieck dar). Ewald-Konstruktion:
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