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Lexikon der Geowissenschaften: Temperaturfaktor

Temperaturfaktor, beschreibt die Reduktion der elastisch gestreuten Intensität von Röntgenstrahlung, Neutronen und Elektronen durch die thermischen Schwingungen der Atome. Atome in Kristallen führen thermisch angeregte Schwingungen um ihre Gleichgewichtslage aus, die zu einer Reduktion der Streuintensität führt. Da die Zeitskala eines Beugungsexperiments sehr viel größer ist als die Dauer einer einzelnen Schwingung, ist nur die zeitlich gemittelte Streudichteverteilung:



von Belang, wobei P(

) diese Verteilung beschreibt. Die Fouriertransformierte ist nach dem Faltungssatz:



wobei fstat=F[ρstat] der Atomformfaktor (für Neutronen, Elektronen oder Röntgenstrahlung) ist (Atomstreufaktor) und T(

)=F[P(

)] (Fouriertransformation) der Temperaturfaktor oder Debye-Waller-Faktor für den Reflex mit den Indizes h,k,l.

Für eine harmonische Schwingung sind sowohl die Verteilungsfunktion P(

) als auch ihre Fouriertransformierte T(

) Gaußfunktionen (〈u2

=mittlere quadratische Auslenkung parallel zum reziproken Gittervektor

):



mit dem symmetrischen Schwingungstensor zweiter Stufe U mit den Elementen Uij=〈uiuj〉. Im Falle räumlich isotroper Auslenkungen vereinfacht sich das zu:



mit nur einem isotropen Schwingungparameter Biso=8π2Uiso. Die durch thermische Schwingungen (dynamische Fehlordnung) verlorene Reflexintensität tritt als thermisch diffuser Streuuntergrund an den Braggreflexen auf. Die Breite der Braggreflexe ändert sich nicht.

Zur graphischen Darstellung der Wahrscheinlichkeitdichte P(

) verwendet man die charakteristische Fläche ( Abb.):



TU-1

=C2,

die für den symmetrischen Tensor U ein Ellipsoid, das sog. „Schwingungsellipsoid”, beschreibt, dessen Hauptachsen eine Länge proportional zur Wurzel aus der mittleren quadratischen Schwingungsamplitude in diesen drei Richtungen haben.

Für Atome in speziellen Lagen bestehen Symmetriebeschränkungen für die unabhängigen Tensorelemente des symmetrischen Tensors U. Sie folgen aus der Bedingung:

U=RURT,

wobei für R die Drehmatrizen der Lagesymmetrie des betreffenden Atoms einzusetzen sind. Es ergeben sich isotrope Schwingungen (Kugelsymmetrie) für alle kubischen Punktlagen, Rotationsellipsoide für die Drehachsen 3, 4, 6,

,

,

und deren nichtkubische Obergruppen. Für die orthorhombischen Lagesymmetrien 222, mm2 und mmm fallen die Hauptachsen mit der Richtung der Basisvektoren zusammen; für monokline Lagesymmetrien liegt eine Achse des Ellipsoids entlang der monoklinen Hauptachse. [KE]


Temperaturfaktor: thermisches Schwingungsellipsoid

TU-1

=C2. Das Ellipsoid ist auf der Atomposition zentriert; für C2=1,5282 umschließt seine Oberfläche ein Volumen von 50% Aufenthaltwahrscheinlichkeit. Die Länge der drei Hauptachsen ist proportional zur Wurzel aus den mittleren quadratischen Schwingungsamplituden √ u12 > , √ u22> und √ u32> in diesen drei Richtungen. Bei Raumtemperatur liegen diese Werte für Minerale typischerweise um 0,05-0,20 Å; für organische Substanzen können sie 0,4 Å und mehr erreichen. Temperaturfaktor:

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