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Lexikon der Geowissenschaften: Wertmaßstab

Wertmaßstab, 1) Kartographie: Signaturmaßstab, vorwiegend in thematischen Karten, aber auch in anderen graphischen Darstellungen benutztes Mittel zur Veranschaulichung von Zahlenwerten durch ihre Übertragung in die graphische Variable Größe. Wertmaßstäbe verwendet man, um die Unterschiede und die Verhältnisse von Werten graphisch auszudrücken. Hierfür werden benutzt: die Länge (z.B. von Säulen) und die Breite von Bändern, die Fläche einfacher geometrischer Figuren (Kreis, Quadrat, Rechteck) sowie das scheinbare Volumen regelmäßiger Körper (Würfel, Kugel) in perspektivischer bzw. schattenplastischer Abbildung. Die Festlegung von Wertmaßstäben ist immer ein Optimierungsproblem, in das mehrere Bedingungen eingehen: a) Der Mensch vermag Längenverhältnisse recht genau, Flächenverhältnisse hingegen nur tendenziell zu beurteilen. Das Verhältnis verschieden großer Flächen wird stets unterschätzt. Die Schätzung von Volumenverhältnissen führt zu groben Fehlurteilen. Demnach wäre die lineare Ausdrucksweise gegenüber der flächenhaften zu bevorzugen und auf die pseudo-körperhafte zu verzichten. b) Dieser allgemeinen Bedingung steht in den meisten Fällen als Bedingung das Verhältnis V des größten zum kleinsten darzustellenden Wert:



entgegen. V wird in der Statistik auch als Wertespanne beschrieben und kann die Größenordnung von 104 bis 105 erreichen (z.B. 2·104 bei Nmax=2 Mio. und Nmin=100 Einwohnern). c) Die für die Darstellung nutzbare Kartenfläche ist in der Regel zu klein, um dieses Werteverhältnis längen- oder flächenproportional wiedergeben zu können, denn es ist eine bestimmte, noch wahrnehmbare Mindestgröße lmin oder Fmin vorauszusetzen, z.B. 1 mm oder 1 mm2. Tabelle 1 zeigt, daß die aus den Beispielsdaten resultierenden größenproportionalen Signaturen bzw. Diagramme nicht darstellbar sind. d) Die Lagebeziehungen der Objekte im Georaum werden durch die Verortung der Signaturen, Figuren bzw. Diagramme an ihrem Bezugspunkt modelliert. In Dichtegebieten führt dies zur Überlagerung der Kartenzeichen. e) Unübersichtliche Signaturballungen lassen sich durch Verdrängung, Freistellung und gezielte Überlagerung von großen mit kleinen Kartenzeichen lesbar gestalten. Die Möglichkeiten einer solchen „visuellen Entflechtung” sind jedoch beschränkt, so daß u.U. die einzige Alternative in der Anpassung des Wertmaßstabs besteht. f) Bei allen Überlegungen und Aktivitäten zur Festlegung des Wertmaßstabs ist zu beachten, daß das Hauptziel von Karten die graphische Modellierung georäumlicher Strukturen ist, d.h. die Veranschaulichung der Quantitäten von Objekten/Sachverhalten und ihrer Verteilung im Georaum. Dafür sind „transparent” gestaltete Konzentrationen von Kartenzeichen ebenso erforderlich wie Flächen mittlerer und geringer Kartenbelastung. g) Die Kartenbelastung geht daher als weiteres allgemeines Kriterium in die Optimierung des Wertmaßstabs ein.

Die Wahl des Wertmaßstabs, genauer die Annäherung an sein Optimum, erfolgt unter Berücksichtigung aller genannten Aspekte, vor allem durch ihre Wertung im Hinblick auf den Zweck der Karte. Sie gestaltet sich vergleichsweise unkompliziert bei Werteverhältnissen von V 102,5, die größenproportional darstellbar sind ( Tab. 2). Für V 102,5 wurden verschiedene Ansätze und Formeln entwickelt (s.u.). Strenge Flächenproportionalität läßt sich jedoch bei V > 103 nicht mehr erreichen. Die Angaben in Tabelle 2 gelten für kontinuierliche Wertmaßstäbe, die jedem Kartenzeichen eine dem Merkmalswert entsprechende, individuelle Größe zuweisen. Da jedoch der Flächenvergleich ohnehin unsicher ist (1. Bedingung), wird die Unterscheidbarkeit der Größen der Kartenzeichen häufig durch Festlegung von Größenklassen (Größenstufen) hergestellt, denen jeweils eine bestimmte Klasse von Merkmalswerten zugeordnet ist. Auch gestufte Wertmaßstäbe lassen sich für V 102,5 annähernd flächenproportional gestalten, z.B. als Proportionalität der Größenstufen zum jeweiligen Mittelwert der Klassen. Jedoch ist darauf zu achten, daß die Kartenzeichen benachbarter Größenstufen (Flächen) auch im Kartenzusammenhang eindeutig unterscheidbar sind (s.u.). Für die graphische Veranschaulichung von Zahlenwerten in der Karte stehen somit flächenproportionale und nichtflächenproportionale, kontinuierliche und gestufte Wertmaßstäbe zur Verfügung, deren Vorzüge und Nachteile in Tabelle 3 zusammengestellt sind. Die Berechnung von kontinuierlichen Wertmaßstäben beginnt mit der Ermittlung von V nach (1). Läßt der Wert von V darauf schließen, daß eine flächenproportionale Darstellung möglich ist, stehen zwei Verfahren zur Wahl: a) Aufgrund von Erfahrung oder Überschaubarkeit des Problems wird einer gebräuchlichen Flächeneinheit F0 ein runder Einheitswert N0 des darzustellenden Merkmals zugeordnet, z.B. könnte 1 mm2 Signaturfläche 100 Einwohner repräsentieren. Daraus ergibt sich die Maßstabskonstante k:



Zugleich gelten:



und:



Durch Auflösen von (3) nach Fmin und (4) nach Fmax zur Berechnung der kleinsten bzw. der größten Signaturfläche läßt sich prüfen, ob k für die betreffende Karte verwendbar oder zu modifizieren ist. b) Der zweite Ansatz besteht darin, durch Schätzen oder überschlägiges Berechnen die kleinste oder die größte Signaturfläche festzulegen und nach (3) bzw. (4) eine vorläufige Maßstabskonstante k' zu ermitteln. Mit k' läßt sich die jeweils andere Extremfläche bestimmen. Fällt Fmin zu klein bzw. Fmax zu groß aus oder soll eine möglichst einprägsame Maßstabskonstante gefunden werden, wird die Berechnung mit entsprechend korrigierten Werten für die Extremflächen wiederholt und ihre Darstellbarkeit geprüft. Ist der nach a) oder b) ermittelte Wertmaßstab verwendbar, berechnen sich die Flächen aller Signaturen nach:

F=k·N. (5)

Ergibt ein flächenproportionaler Wertmaßstab nach a) oder b) wegen eines V nahe 102,5, wegen absehbarer starker Überlagerung von Signaturen oder zu hoher allgemeiner Kartenbelastung kein befriedigendes Ergebnis, muß zu einem nichtflächenproportionalen Wertmaßstab übergegangen werden. Für nichtflächenproportionale Wertmaßstäbe stehen mehrere Formeln zur Verfügung, deren Anwendung mit unterschiedlichen Vor- und Nachteilen behaftet ist ( Tab. 4), die dem Zweck der Karte entsprechende Kompromisse erfordern. Generell gilt, daß man sich mit zunehmendem V ( > 103) von der Flächenproportionalität entfernt. Dieser Nachteil kann meist zugunsten der Erfüllung anderer Bedingungen, vor allem von (6) und (7) akzeptiert werden. Alle Formeln für nichtflächenproportionale Wertmaßstäbe setzen die Festlegung von Fmin und Fmax voraus. Verbreitet wird die Formel von Jensch angewendet:

F=k·Nb. (6.1)

Dabei ist:



und:



Töpfer hat diese Formel durch Einführung eines dritten, zwischen den Extrema liegenden Wertepaares Fm und Nm erweitert, gibt aber für dessen Festlegung nur allgemeine Hinweise. Sein Ansatz erlaubt, die Signaturgrößen in einem bestimmten Wertebereich stärker zu differenzieren, allerdings zulasten anderer Wertebereiche. Die Signaturflächen werden berechnet nach:

F=Fmin+k(N-Nmin)b, (7.1)

wobei:





und:

F'm=Fm-Fmin,

N'm=Nm-Nmin,

F'max=Fmax-Fmin,

N'max=Nmax-Nmin

sind.

Großer ergänzt die Formel zur Berechnung eines flächenproportionalen Wertmaßstabes (5) durch ein Korrekturglied Fk, das einer konstanten Korrekturfläche entspricht, um die jede Signatur vergrößert wird:

F=k·N+Fk. (8.1)

k wird berechnet nach:



Fk ergibt sich aus:

Fk=Fmin-k·Nmin. (8.3)

Hierdurch lassen sich die kleinsten Signaturflächen, die bei Berechnung nach (5) unter der Schwelle der Wahrnehmbarkeit liegen, auf eine wahrnehmbare Größe anheben. Nichtflächenproportionale gestufte Wertmaßstäbe zeichnen sich in der Regel durch ein konstantes Verhältnis a benachbarter Signaturgrößen aus. Es kann definiert werden als Quotient aus der Fläche einer bestimmten Signaturgröße Fi geteilt durch die Fläche der nächstkleineren Signatur Fi-1:



Um die visuelle Unterscheidbarkeit aller Signaturgrößen zu sichern, sollte a nicht kleiner als 1,5 sein. Ist eine sehr schnelle und sehr sichere Zuordnung der Signaturen zu den Größenstufen erwünscht, so sollte a=2 gewählt werden oder nur wenig darunter liegen. Dies gilt besonders für die kleinsten Größen der Signaturenskala. An die Berechnung der Signaturgrößen kann von zwei Seiten herangegangen werden: a) Die Anzahl der Signaturgrößen n ist durch die Anzahl der Merkmalsklassen von N vorgegeben, was als Normalfall gelten kann. b) Das Verhältnis a wurde festgelegt, gesucht ist die größtmögliche Anzahl von Signaturgrößen n. Die grundlegende Beziehung zwischen den Größen lautet:



Daraus leiten sich die Formeln zur Berechnung von a und n ab





Wertmaßstäbe sind wichtiger Bestandteil der Legende. Sie werden meist graphisch in Form von Nomogrammen wiedergegeben. Nur bei flächenproportionaler Darstellung ist die Maßstabsangabe auch numerisch bzw. verbal sinnvoll, z.B. in der Formulierung 1 mm2 Diagrammfläche entspricht 100 Einwohnern. Kontinuierliche Wertmaßstäbe können als Kurve veranschaulicht werden, an der sich alle Signaturgrößen der Karte abgreifen oder abmessen lassen. Weniger günstig ist die alleinige Angabe von Beispielsgrößen, die häufig aus Platzgründen ineinandergestellt werden. Für gestufte Wertmaßstäbe ist die Ausweisung aller in der Karte auftretenden Signaturgrößen mit Angabe der Klassengrenzen zwingend erforderlich. Für die Benutzung der Karte durch Fachleute sollte die Formel des verwendeten Wertmaßstabs angegeben werden, was jedoch bislang sehr selten geschieht. In Kartenkonstruktionsprogrammen und Geoinformationssystemen sind Funktionen zur Auswahl und Berechnung des Wertmaßstabs implementiert. Steht ein genügend breites Spektrum der oben erläuterten oder vergleichbarer Berechnungsgrundlagen zur Verfügung, wird damit der Auswahl- und Bewertungsprozeß bis zur endgültigen Version der Darstellung wesentlich erleichtert und beschleunigt. 2) Landschaftsökologie: in der Raumplanung gebräuchlicher Begriff für die individuelle und je nach sozialer Gruppenzugehörigkeit unterschiedliche Beurteilung von Zuständen und räumlichen Prozessen in der Landschaft. Dabei spielt die Perzeption eine wichtige Rolle. Mit der Erforschung von gesellschaftlich geprägten Prozessen der Umweltwahrnehmung befaßt sich die Fachrichtung Humanökologie.


Wertmaßstab (Tab. 1): Maße des kleinsten und größten Kartenzeichens bei größenproportionaler Darstellung eines Werteverhältnisses von V=20.000 (Beispiel). Wertmaßstab (Tab. 1):

Wertmaßstab (Tab. 2): Werteverhältnis V und Darstellungsweise (Typ des Wertmaßstabs). Wertmaßstab (Tab. 2):

Wertmaßstab (Tab. 3): Vor- und Nachteile der Hauptarten von Wertmaßstäben. Wertmaßstab (Tab. 3):

Wertmaßstab (Tab. 4): Vor- und Nachteile kontinuierlicher Wertmaßstäbe. Wertmaßstab (Tab. 4):

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