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Lexikon der Kartographie und Geomatik: Gravitationspotential

Gravitationspotential, E gravity potential, die aus dem Newton'schen Gravitationsgesetz folgende Gravitationsfeldstärke eines anziehenden Massenpunkts ist konservativ, sodass ein Potential V existiert, das als Newton'sches Raumpotential oder Gravitationspotential bezeichnet wird. Für ausgedehnte (nicht notwendigerweise sphärisch-homogene) Körper (und damit für die Erde) lässt sich die Quellendarstellung des Gravitationspotentials in einem dreidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem angeben:





Dabei ist τ das geschlossene, beschränkte Raumgebiet (das Volumen des betrachteten Körpers), P([x pfeil] ) der Aufpunkt (der bei der Berechnung feste Punkt), Q([x pfeil] ′ ) der Quellpunkt (der unter der Integration laufende Punkt), ρ([x pfeil] ′ ) die auf τ beschränkte Dichteverteilung, l([x pfeil], [x pfeil] ′ )=|[x pfeil] - [x pfeil] ′ | der Abstand zwischen Auf- und Quellpunkt, und ρ([x pfeil] ′ )dτ=dm das differentielle Massenelement (die Massenbelegung). Die Funktion 1/1([x pfeil], [x pfeil] ′ ) wird als Newton'scher Kern bezeichnet und spielt eine herausragende Rolle in der Potentialtheorie. Das Gravitationspotential ist im Außenraum einschließlich seiner ersten und zweiten partiellen Ableitungen endlich und stetig. V ist regulär im Unendlichen:





wobei M die Gesamtmasse auf τ (z. B. der Erde) ist. Physikalisch ist damit das Gravitationspotential äquivalent der potentiellen Energie, deren Nullreferenzniveau ins Unendliche verlegt ist. Da die Dichteverteilung im Außenraum von τ verschwindet, bildet der Gravitationsvektor gradV ein quellenfreies Vektorfeld, es gilt damit im Außenraum die Laplace-Gleichung ΔV=0. Im Innenraum erfüllt V die Poisson-Gleichung ΔV=-4πGρ. Das Gravitationspotential kann im Außenraum durch Lösen eines geodätischen Randwertproblems bestimmt werden, im Innenraum dagegen nur bei bekannter Dichteverteilung ρ([x pfeil] ′ ). Eine bevorzugte Methode zur Bestimmung des Gravitationspotentials im Außenraum ist die Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials.
Die Quellendarstellung der Potentialkoeffizienten des Gravitationspotentials ist durch Volumenintegrale über die Erde möglich. Die differentialgeometrischen Eigenschaften des Gravitationspotentials können mit Hilfe des Eötvös-Tensors beschrieben werden. Dazu wird dieser in einem lokalen Tangentialsystem (Ursprung im Punkt P der Äquipotentialfläche V(P)=const des Gravitationspotentials V, lokale z-Achse als Normale der Äquipotentialfläche entgegengesetzt zur Richtung des Gravitationsvektors [g pfeil]=gradV, lokale x-Achse (Nordrichtung) und lokale y-Achse (Westrichtung) spannen die Tangentialebene an die Äquipotentialfläche in P auf); es wird wie folgt geschrieben:





Dabei sind κ1 bzw. κ2 die Krümmung der Äquipotentialfläche V(P)=const in Nord-Süd- bzw. West-Ost-Richtung, τ1 die Torsion des Meridians sowie φ1 bzw. φ2 die Krümmung der durch P verlaufenden Lotlinie in Nord-Süd- bzw. West-Ost-Richtung. Die mittlere Krümmung wird durch H und die Gauß'sche Krümmung durch K= κ1·κ2 beschrieben.

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